Cheksiz navbat bilan bitta kanalli va ko'p kanalli smos. Kutish rejimi bilan bir kanalli smo. “Matematik usullar” fanidan

Amalda navbatga ega bo'lgan bir kanalli QS (bemorlarga xizmat ko'rsatuvchi shifokor, mashina buyruqlarini bajaruvchi protsessor) juda keng tarqalgan. Shuning uchun navbat bilan bitta kanalli QSni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Hech qanday cheklovlar qo'yilmaydigan (navbat uzunligiga, na kutish vaqtiga) navbat bilan bitta kanalli QS bo'lsin. Bu QS l intensivlikdagi ilovalar oqimini oladi; xizmat ko'rsatish oqimi m intensivligiga ega bo'lib, u taxminan so'rovga xizmat ko'rsatish vaqti t ga teskari. Topish kerak yakuniy ehtimolliklar QS holatlari, shuningdek uning samaradorligi xususiyatlari:

L SYST– tizimdagi so‘rovlarning o‘rtacha soni;

W TIZIMI– so‘rovning tizimda qolishi o‘rtacha vaqti;

L JUDA– navbatda turgan arizalarning o‘rtacha soni;

V JUDA– arizaning navbatda turishining o‘rtacha vaqti;

P ZAN- kanalning band bo'lish ehtimoli (kanal yuklanish darajasi).

Mutlaq kelsak tarmoqli kengligi A va nisbiy Q, keyin ularni hisoblashning hojati yo'q: navbat cheksiz bo'lganligi sababli, har bir so'rov ertami-kechmi xizmat ko'rsatiladi, shuning uchun xuddi shu sababga ko'ra.

Yechim. Tizimning holati, avvalgidek, QSdagi ilovalar soni bo'yicha raqamlanadi:

-S 0 - kanal bepul;

-S 1 – kanal band (so‘rovga xizmat ko‘rsatmoqda), navbat yo‘q;

-S 2 – kanal band, bitta so‘rov navbatda;

-S k – kanal band, k-1 ilovalar navbatda turibdi.

Nazariy jihatdan davlatlar soni cheksiz (cheksiz). O'lim va ko'payish sxemasidagi yakuniy ehtimollik formulalari faqat cheklangan sonli holatlar uchun olingan, ammo biz ularni cheksiz sonli holatlar uchun ishlatamiz, deb taxmin qilamiz. Keyin formuladagi atamalar soni cheksiz bo'ladi. uchun ifodani olamiz p o:

(17) formuladagi qator geometrik progressiyadir. Biz bilamizki, qator yaqinlashadi - bu maxraj bilan cheksiz kamayib boruvchi progressiyadir. r. Qachonki qatorlar ajralib chiqsa (bu bilvosita, lekin qat'iy bo'lmasa ham, holatlarning yakuniy ehtimolini tasdiqlovchi dalildir) p o, p 1, …, p k,...faqat qachon mavjud bo'lsa). Keyin:

Keling, CMOga murojaatlarning o'rtacha sonini topaylik L SYST. Tasodifiy o'zgaruvchi Z - tizimdagi ilovalar soni - ehtimollik bilan 0, 1, 2, ..., k, ... qiymatlariga ega. p o, p 1, …, p k,... Uning matematik kutilishi quyidagilarga teng:

Little formulasidan (9) foydalanib, so'rovning tizimda qolishi o'rtacha vaqtini topamiz:

Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini topamiz. Biz quyidagicha fikr yuritamiz: navbatdagi ilovalar soni tizimdagi ilovalar sonidan xizmat ko'rsatilayotgan ilovalar soniga teng. Bu (matematik taxminlarni qo'shish qoidasiga ko'ra) navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini anglatadi. L JUDA tizimdagi ilovalarning o'rtacha soniga teng L SYST xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soni minus. Xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni nolga teng (agar kanal bo'sh bo'lsa) yoki bitta (agar u band bo'lsa) bo'lishi mumkin. Bunday tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi kanal band bo'lish ehtimoliga teng P ZAN. Ko'rinib turibdiki:

Shunday qilib, xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlarning o'rtacha soni:

Little formulasidan (9) foydalanib, biz ilovaning navbatda turgan o'rtacha vaqtini topamiz.

Uchun Muvaffaqiyatsiz QS:

Uchun Cheksiz kutish bilan SMO mutlaq va nisbiy o'tkazish qobiliyati o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki har bir kiruvchi so'rov ertami-kechmi xizmat ko'rsatiladi. Bunday QS uchun muhim ko'rsatkichlar quyidagilar:

Uchun QS aralash turi ko'rsatkichlarning ikkala guruhi ham qo'llaniladi: nisbiy va mutlaq o'tkazish qobiliyati, va kutish xususiyatlari.

Navbatga qo'yish operatsiyasining maqsadiga qarab, samaradorlik mezoni sifatida berilgan ko'rsatkichlarning istalgani (yoki ko'rsatkichlar to'plami) tanlanishi mumkin.

Analitik model QS - bu tizimning ishlashi paytidagi holatlarning ehtimolini aniqlash va kiruvchi oqim va xizmat ko'rsatish kanallarining ma'lum xususiyatlariga asoslanib ishlash ko'rsatkichlarini hisoblash imkonini beruvchi tenglamalar yoki formulalar to'plami.

Ixtiyoriy QS uchun umumiy analitik model mavjud emas. QS ning cheklangan miqdordagi maxsus holatlari uchun analitik modellar ishlab chiqilgan. Haqiqiy tizimlarni ko'proq yoki kamroq aniq aks ettiruvchi analitik modellar odatda murakkab va vizualizatsiya qilish qiyin.

QS ni analitik modellashtirish, agar QSda sodir bo'ladigan jarayonlar Markovian bo'lsa, juda osonlashadi (so'rovlar oqimi oddiy, xizmat ko'rsatish vaqtlari eksponent ravishda taqsimlanadi). Bunda QS dagi barcha jarayonlar oddiy differensial tenglamalar bilan, cheklovchi holatda esa statsionar holatlar uchun chiziqli algebraik tenglamalar bilan tasvirlanishi va ularni yechib, tanlangan samaradorlik ko'rsatkichlarini aniqlash mumkin.

Keling, ba'zi QS misollarini ko'rib chiqaylik.

2.5.1. Muvaffaqiyatsiz ko'p kanalli QS

2.5-misol. Uch nafar yo‘l inspektori haydovchilarning yo‘l varaqlarini tekshirmoqda yuk mashinalari. Agar kamida bitta inspektor bo'sh bo'lsa, o'tayotgan yuk mashinasi to'xtatiladi. Agar barcha inspektorlar band bo'lsa, yuk mashinasi to'xtamasdan o'tib ketadi. Yuk mashinalarining oqimi oddiy, tekshirish vaqti eksponent taqsimot bilan tasodifiy.

Bu holat nosozliklar (navbatsiz) bilan uch kanalli QS tomonidan modellashtirilishi mumkin. Tizim ochiq tsiklli, bir xil so'rovlar bilan, bir fazali, mutlaqo ishonchli kanallarga ega.

Davlatlarning tavsifi:

Barcha inspektorlar bepul;

Bitta inspektor band;

Ikkita inspektor band;

Uch nafar inspektor band.

Tizim holati grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2.11.

Grafikda: - yuk mashinasi oqimining intensivligi; - bitta transport inspektori tomonidan hujjatlarni tekshirishning intensivligi.

Simulyatsiya sinovdan o'tmaydigan transport vositalarining qismini aniqlash uchun amalga oshiriladi.

Yechim

Ehtimollikning talab qilinadigan qismi har uch nafar inspektorning ish bilan ta'minlanish ehtimoli hisoblanadi. Davlat grafigi odatiy "o'lim va ko'payish" sxemasini ifodalaganligi sababli, biz (2.2) bog'liqliklar yordamida topamiz.

Ushbu transport inspektori postining o'tkazish qobiliyatini tavsiflash mumkin nisbiy o'tkazish qobiliyati:

2.6-misol. Razvedka guruhining hisobotlarini qabul qilish va qayta ishlash uchun birlashmaning razvedka bo'limida uch nafar ofitserdan iborat guruh tayinlandi. Hisobotlar oqimining kutilayotgan intensivligi soatiga 15 ta hisobot. Bitta ofitser tomonidan bitta hisobotni qayta ishlash uchun o'rtacha vaqt. Har bir ofitser har qanday razvedka guruhidan hisobot olishi mumkin. Ozod qilingan ofitser olingan hisobotlarning oxirgisini qayta ishlaydi. Kiruvchi hisobotlar kamida 95% ehtimollik bilan qayta ishlanishi kerak.

Belgilangan uchta ofitserdan iborat tayinlangan jamoa topshirilgan vazifani bajarish uchun etarli yoki yo'qligini aniqlang.

Yechim

Bir guruh ofitserlar uchta kanaldan iborat muvaffaqiyatsizliklar bilan CMO sifatida ishlaydi.

Intensivlik bilan hisobotlar oqimi eng oddiy deb hisoblash mumkin, chunki bu bir nechta razvedka guruhlari jami. Xizmat intensivligi . Tarqatish qonuni noma'lum, ammo bu muhim emas, chunki nosozliklar bo'lgan tizimlar uchun bu o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkinligi ko'rsatilgan.

Holatlar tavsifi va QS holati grafigi 2.5-misolda keltirilganlarga o'xshash bo'ladi.

Davlat grafigi "o'lim va ko'payish" sxemasi bo'lganligi sababli, davlatning cheklash ehtimoli uchun tayyor ifodalar mavjud:

Munosabat deyiladi ilovalar oqimining berilgan intensivligi. Uning jismoniy ma'nosi quyidagicha: qiymat bir so'rovga xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqti davomida QSga kelgan so'rovlarning o'rtacha sonini ifodalaydi.

Misolda .

Ko'rib chiqilayotganda SMO xatosi uch kanal ham band bo'lganda paydo bo'ladi, ya'ni. Keyin:

Chunki muvaffaqiyatsizlik ehtimoli hisobotlarni qayta ishlashda 34% dan ortiq (), keyin oshirish kerak xodimlar guruhlar. Keling, guruh tarkibini ikki baravar oshiraylik, ya'ni CMO endi oltita kanalga ega bo'ladi va hisoblab chiqamiz:

Shunday qilib, faqat olti nafar ofitserdan iborat guruh 95% ehtimollik bilan kiruvchi hisobotlarni qayta ishlay oladi.

2.5.2. Kutish bilan ko'p kanalli QS

2.7-misol. Daryoning kesishuv qismida 15 ta shunday oʻtish moslamalari mavjud. O'tish joyiga keladigan asbob-uskunalar oqimi o'rtacha 1 birlik / min, bitta uskunani kesib o'tishning o'rtacha vaqti 10 minutni tashkil qiladi (o'tish vositasining qaytishi bilan birga).

O'tishning asosiy xususiyatlarini, shu jumladan jihozlar kelgandan so'ng darhol o'tish ehtimolini baholang.

Yechim

Mutlaq o'tkazuvchanlik, ya'ni o'tish joyiga yaqinlashadigan hamma narsa amalda darhol kesib o'tadi.

Amaldagi o'tish moslamalarining o'rtacha soni:

Paromdan foydalanish va ishlamay qolish stavkalari:

Misolni yechish uchun dastur ham ishlab chiqilgan. Uskunaning kesishuvga etib borishi uchun vaqt oralig'i va kesishish vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlangan deb taxmin qilinadi.

50 marta yugurishdan keyin kesishuvdan foydalanish darajasi deyarli bir xil: .

Maksimal navbat uzunligi 15 birlik, navbatda o'rtacha vaqt taxminan 10 daqiqa.

IN tijorat faoliyati Masalan, tijorat direktori cheksiz kutish bilan bitta kanalli QS bo'lib xizmat qilishi mumkin, chunki u, qoida tariqasida, har xil xarakterdagi so'rovlarga xizmat ko'rsatishga majbur bo'ladi: hujjatlar, telefon suhbatlari, bo'ysunuvchilar, vakillar bilan uchrashuvlar va suhbatlar. soliq idorasi, politsiya, tovar ekspertlari, marketologlar, mahsulot yetkazib beruvchilar va tovar va moliyaviy sohadagi muammolarni hal qiladilar. yuqori daraja Ba'zan ularning talablari bajarilishini sabrsizlik bilan kutadigan so'rovlarni majburiy bajarish bilan bog'liq bo'lgan moliyaviy javobgarlik va noto'g'ri xizmat ko'rsatishdagi xatolar, qoida tariqasida, iqtisodiy jihatdan juda muhimdir.

Shu bilan birga, sotish (xizmat ko'rsatish) uchun olib kirilgan tovarlar omborda bo'lganda, xizmat ko'rsatish (sotish) uchun navbat hosil qiladi.

Navbatning uzunligi - sotish uchun mo'ljallangan tovarlar soni. Bunday vaziyatda sotuvchilar tovarlarga xizmat ko'rsatish kanallari sifatida ishlaydi. Agar sotish uchun mo'ljallangan tovarlar soni ko'p bo'lsa, unda bu holda biz kutish bilan QS ning odatiy holati bilan shug'ullanamiz.

Qabul qiluvchi xizmatni kutish bilan eng oddiy bitta kanalli QSni ko'rib chiqaylik Poisson oqimi l intensivligi va xizmat intensivligi m bo'lgan so'rovlar.

Bundan tashqari, kanal xizmat ko'rsatish bilan band bo'lgan vaqtda olingan so'rov navbatga qo'yiladi va xizmatni kutadi.

Bunday tizimning belgilangan holat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 3.5

Mumkin bo'lgan holatlar soni cheksizdir:

Kanal bepul, navbat yo'q, ;

Kanal xizmat ko'rsatish bilan band, navbat yo'q, ;

• - kanal band, bitta so'rov navbatda;
• - kanal band, so'rov navbatda.

Cheksiz navbatga ega QS holatlari ehtimolini baholash modellarini cheksiz navbat bilan QS uchun ajratilgan formulalardan m>? da chegaraga o'tish orqali olish mumkin:

Guruch. 3.5

Shuni ta'kidlash kerakki, formulada navbat uzunligi cheklangan QS uchun

birinchi hadi 1 va maxrajli geometrik progressiya mavjud. Bunday ketma-ketlik cheksiz sonli hadlarning yig'indisidir. QS ning turg'un holatdagi ish rejimini belgilaydigan cheksiz ravishda kamayib boruvchi progressiya vaqt o'tishi bilan da navbat cheksizgacha o'sishi mumkin bo'lsa, bu summa yaqinlashadi.

Ko'rib chiqilayotgan QSda navbat uzunligi bo'yicha hech qanday cheklov yo'qligi sababli, har qanday so'rovga xizmat ko'rsatish mumkin, shuning uchun mos ravishda nisbiy o'tkazuvchanlik va mutlaq o'tkazuvchanlik.

K ta ilovaning navbatda turishi ehtimoli:

Navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni -

Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni -

Ilovaning tizimda qolishi oʻrtacha vaqti -

Ilovaning tizimda qolishi oʻrtacha vaqti -

Agar kutish bilan bitta kanalli QSda qabul qilingan so'rovlarning intensivligi xizmat ko'rsatish intensivligidan katta bo'lsa, navbat doimiy ravishda oshib boradi. Shu munosabat bilan statsionar rejimda ishlaydigan barqaror QS tizimlarini tahlil qilish.

Savdo faoliyatida kutish (navbat) bilan QS keng tarqalgan.

Cheklangan navbatga ega oddiy bir kanalli QS ni ko'rib chiqamiz, unda navbatdagi o'rinlar soni m qat'iy belgilangan qiymatdir. Binobarin, navbatdagi barcha joylar band boʻlgan vaqtda kelib tushgan ariza xizmat koʻrsatish uchun qabul qilinmaydi, navbatga qoʻshilmaydi va tizimni tark etadi.

Ushbu QS ning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 3.4 va shakldagi grafikga to'g'ri keladi. 2.1 "tug'ilish-o'lim" jarayonini tavsiflovchi, farqi bilan faqat bitta kanal mavjudligi.

Xizmatning "tug'ilish - o'lim" jarayonining yorliqli grafigi; xizmat oqimlarining barcha intensivligi teng

QS holatlari quyidagicha ifodalanishi mumkin:

S0 - xizmat ko'rsatish kanali bepul,

S, - xizmat ko'rsatish kanali band, lekin navbat yo'q,

S2 - xizmat ko'rsatish kanali band, navbatda bitta so'rov bor,

S3 - xizmat ko'rsatish kanali band, navbatda ikkita so'rov bor,

Sm+1 - xizmat ko'rsatish kanali band, navbatdagi barcha m joy band, keyingi har qanday so'rov rad etiladi.

Tavsif uchun tasodifiy jarayon QS avval bayon qilingan qoidalar va formulalardan foydalanishi mumkin. Holatlarning cheklovchi ehtimolini aniqlovchi ifodalarni yozamiz:

Bu holda p0 ifodasini soddaroq tarzda yozish mumkin, bunda maxraj p ga nisbatan geometrik progressiyani o'z ichiga oladi, keyin tegishli transformatsiyalardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

c= (1-s)

Bu formula 1 dan boshqa barcha p uchun amal qiladi, lekin agar p = 1 bo'lsa, p0 = 1/(m + 2) va boshqa barcha ehtimollar ham 1/(m + 2) ga teng.

Agar biz m = 0 deb faraz qilsak, biz kutish bilan bitta kanalli QSni ko'rib chiqishdan xizmat ko'rsatishni rad etish bilan allaqachon ko'rib chiqilgan yagona kanalli QSga o'tamiz.

Darhaqiqat, m = 0 holatida p0 chegaraviy ehtimollik ifodasi quyidagi ko'rinishga ega:

po = m / (l+m)

Va l = m holatda u p0 = 1/2 qiymatiga ega.

Keling, kutish bilan bitta kanalli QS ning asosiy xususiyatlarini aniqlaylik: nisbiy va mutlaq o'tkazuvchanlik, muvaffaqiyatsizlik ehtimoli, shuningdek o'rtacha navbat uzunligi va navbatdagi dasturni kutishning o'rtacha vaqti.

Agar ariza QS allaqachon Sm+1 holatida bo'lgan va shuning uchun navbatdagi barcha joylar band bo'lgan va bitta kanal xizmat ko'rsatayotgan vaqtda kelsa, ariza rad etiladi.

Shuning uchun muvaffaqiyatsizlik ehtimoli yuzaga kelish ehtimoli bilan belgilanadi

Sm+1 quyidagilarni bildiradi:

Ptk = pm+1 = sm+1 * p0

Nisbiy o'tkazuvchanlik yoki vaqt birligida kelgan xizmat ko'rsatilgan so'rovlar nisbati ifoda bilan aniqlanadi.

Q = 1- rotk = 1- sm+1 * p0

mutlaq o'tkazuvchanlik:

Xizmat uchun navbatda turgan L arizalarining o'rtacha soni aniqlanadi matematik kutish tasodifiy o'zgarmaydigan k - navbatda turgan ilovalar soni

k tasodifiy o'zgaruvchisi faqat quyidagi butun qiymatlarni oladi:

• 1 - navbatda bitta dastur bor,
• 2 - navbatda ikkita dastur bor,

t-navbatdagi barcha joylar band

Ushbu qiymatlarning ehtimoli S2 holatidan boshlab holatlarning mos keladigan ehtimollari bilan belgilanadi. Diskret tasodifiy miqdor k ning taqsimot qonuni quyidagicha tasvirlangan:

Jadval 1. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

Umumiy holda, p ? 1 uchun bu summani geometrik progressiya modellari yordamida qulayroq shaklga o'zgartirish mumkin:

Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)* p0

Maxsus holatda p = 1 bo'lganda, barcha pk ehtimolliklari teng bo'lganda, siz sonli qatorlar shartlari yig'indisi uchun ifodadan foydalanishingiz mumkin.

1+2+3+ m = m(m+1)

Keyin formulani olamiz

L"och= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Shunga o'xshash mulohazalar va o'zgarishlardan foydalanib, navbatdagi so'rovga xizmat ko'rsatish uchun o'rtacha kutish vaqti Little formulalari bilan aniqlanishini ko'rsatish mumkin.

Nuqta = Loch/A (p? 1 da) va T1och= L"och/A (p = 1 da).

Bu natija, Toc ~ 1/l ekanligi ma'lum bo'lganda, g'alati tuyulishi mumkin: ilovalar oqimining intensivligi oshishi bilan navbatning uzunligi oshib, o'rtacha kutish vaqti kamayadi. Biroq, shuni yodda tutish kerakki, birinchidan, Loch qiymati l va m ning funksiyasi va ikkinchidan, ko'rib chiqilayotgan QS m dan ortiq bo'lmagan ilovalarning cheklangan navbat uzunligiga ega.

Barcha kanallar band bo'lgan vaqtda QS tomonidan qabul qilingan ariza rad etiladi va shuning uchun uning QSda "kutish" vaqti nolga teng. Bu umumiy holatda (p? 1 uchun) Tochromost l ning pasayishiga olib keladi, chunki bunday so'rovlarning ulushi l ortishi bilan ortadi.

Agar biz navbat uzunligi bo'yicha cheklovdan voz kechsak, ya'ni. to'g'ridan-to'g'ri m--> >?, keyin holatlar p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Agar k yetarlicha katta bo'lsa, pk ehtimoli nolga intiladi. Shuning uchun nisbiy o'tkazuvchanlik Q = 1 bo'ladi va mutlaq o'tkazuvchanlik A --l Q -- l ga teng bo'ladi, shuning uchun barcha kiruvchi so'rovlarga xizmat ko'rsatiladi va o'rtacha navbat uzunligi teng bo'ladi:

Loch = p2 1-bet

va Little formulasi bo'yicha o'rtacha kutish vaqti

Nuqta = Loch/A

Chegarada p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Shuning uchun holatlarning cheklovchi ehtimolini aniqlab bo'lmaydi: Q = 1 uchun ular nolga teng. Aslida, QS o'z funktsiyalarini bajarmaydi, chunki u barcha kiruvchi ilovalarga xizmat ko'rsatishga qodir emas.

Xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning ulushi va mutlaq o'tkazuvchanlik mos ravishda o'rtacha c va m ekanligini aniqlash qiyin emas, ammo navbatning cheksiz ko'payishi va shuning uchun undagi kutish vaqti, bir muncha vaqt o'tgach, shunga olib keladi. vaqt ilovalari noaniq uzoq vaqt davomida navbatda to'plana boshlaydi.

QS xususiyatlaridan biri sifatida ilovaning QSda qolishining o'rtacha Tsmo vaqti, shu jumladan navbatda o'tkazgan o'rtacha vaqt va o'rtacha xizmat vaqti ishlatiladi. Ushbu qiymat Little formulalari yordamida hisoblanadi: agar navbat uzunligi cheklangan bo'lsa, navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni quyidagilarga teng:

Lsmo = m+1;2

Tsmo = Lsmo; 1-betda

Keyin so'rovning navbatda turish tizimida (navbatda ham, xizmatda ham) o'rtacha turish vaqti quyidagilarga teng bo'ladi:

Tsmo = m+1 p ?1 2m da

Amalda, navbat bilan bitta kanalli tibbiy xizmatlarni topish juda keng tarqalgan (bemorlarga xizmat ko'rsatuvchi shifokor; bitta kabinali pullik telefon; foydalanuvchi buyurtmalarini bajaradigan kompyuter). Navbat nazariyasida navbatga ega bo'lgan bir kanalli QS ham alohida o'rin tutadi (Markov bo'lmagan tizimlar uchun hozirgacha olingan analitik formulalarning aksariyati bunday QSga tegishli). Shuning uchun biz navbat bilan bitta kanalli QS ga alohida e'tibor qaratamiz.

Hech qanday cheklovlar qo'yilmaydigan (navbat uzunligiga, na kutish vaqtiga) navbat bilan bitta kanalli QS bo'lsin. Bu QS intensivligi l bo'lgan so'rovlar oqimini oladi; xizmatlar oqimi m intensivlikka ega, bu o'rtacha so'rovga tob xizmat ko'rsatish vaqtiga teskari. QS holatlarining yakuniy ehtimolliklarini, shuningdek uning samaradorligining xususiyatlarini topish kerak:

Lsyst - tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni,

Wsyst - so'rovning tizimda qoladigan o'rtacha vaqti,

Loch - navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni,

Woch - arizaning navbatda turishining o'rtacha vaqti,

Rzan - kanalning band bo'lish ehtimoli (kanal yuklanish darajasi).

Mutlaq o'tkazuvchanlik A va nisbiy Q ga kelsak, ularni hisoblashning hojati yo'q: navbat cheksiz bo'lganligi sababli, har bir so'rov ertami-kechmi xizmat ko'rsatiladi, shuning uchun A = l, xuddi shu sababga ko'ra Q = 1.

Yechim. Avvalgidek, biz tizim holatlarini QSdagi ilovalar soniga qarab raqamlaymiz:

S0 - kanal bepul,

S1 - kanal band (so'rovga xizmat qiladi), navbat yo'q,

S2 - kanal band, bitta so'rov navbatda,

Sk - kanal band, k - 1 ta ilovalar navbatda.

Nazariy jihatdan davlatlar soni cheksiz (cheksiz). Davlat grafigi rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 4.11. Bu o'lim va ko'payish sxemasi, lekin cheksiz sonli holatlar bilan. Barcha strelkalar bo'ylab intensivligi l bo'lgan so'rovlar oqimi tizimni chapdan o'ngga va o'ngdan chapga - intensivligi m bo'lgan xizmatlar oqimini siljitadi.

Guruch. 4.11. QS ning cheksiz sonli holatlar bilan o'lim va ko'payish sxemasi ko'rinishidagi holat grafigi

Avvalo, o'zimizga savol beraylik, bu holatda yakuniy ehtimollar bormi? Axir, tizimning holatlari soni cheksizdir va printsipial jihatdan, t→∞ bo'lgani uchun navbat cheksiz ko'payishi mumkin! Ha, shunday: bunday QS uchun yakuniy ehtimollar har doim ham mavjud emas, lekin faqat tizim ortiqcha yuklanmaganida. Agar p birdan kam bo'lsa, isbotlash mumkin (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Ammo keling, cheksiz navbat bilan yagona kanalli QS ga qaytaylik. To'g'ri aytganda, biz o'lim va ko'payish sxemasidagi yakuniy ehtimollik formulalarini faqat cheklangan sonli holatlar uchun ishlab chiqdik, lekin biz ularni cheksiz sonli holatlar uchun ishlatamiz. (4.21), (4.20) formulalar yordamida holatlarning yakuniy ehtimollarini hisoblaymiz. Bizning holatda (4.21) formuladagi atamalar soni cheksiz bo'ladi. Biz p0 uchun ifodani olamiz:

p1, p2, ..., pk, ... ehtimollar formulalar bo'yicha topiladi:

qaerdan, (4.38) ni hisobga olgan holda, biz nihoyat topamiz:

p 1 = r(1 - r), = r2(1- r), . . ., pk= r4(1- r), . . . (4,39)

Ko'rib turganingizdek, p0, p1, ..., pk, ... ehtimollar p maxraji bilan geometrik progressiya hosil qiladi. G'alati, ularning maksimal p0 - bu kanal butunlay bepul bo'lish ehtimoli. Navbatdagi tizim qanchalik yuklangan bo'lishidan qat'i nazar, agar u ilovalar oqimiga umuman dosh bera olsa (p.<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

QS Lsystemdagi ilovalarning o'rtacha sonini topamiz. Z tasodifiy o'zgaruvchisi - tizimdagi ilovalar soni - p0, p1, p2, ..., pk, ... ehtimolliklari bilan 0, 1, 2, ..., k, ... mumkin bo'lgan qiymatlarga ega. Uning matematik taxmini

(yig'indi 0 dan ∞ gacha emas, balki 1 dan ∞ gacha olinadi, chunki nol a'zo nolga teng).

rk (4.39) ifodasini (4.40) formulaga almashtiramiz:

Endi yig'indi belgisidan p (1 - p) ni olamiz:

Bu erda biz yana "kichik hiyla" ni qo'llaymiz: kpk-1 pk ifodasidan p ga nisbatan hosiladan boshqa narsa emas; Ma'nosi,

Differensiallash va yig'ish operatsiyalarini o'zgartirib, biz quyidagilarni olamiz:

Xo'sh, endi biz Little formulasini (4.25) qo'llaymiz va so'rovning tizimda qolishining o'rtacha vaqtini topamiz:

Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini topamiz Loch . Biz quyidagicha fikr yuritamiz: navbatdagi ilovalar soni tizimdagi ilovalar sonidan xizmat ko'rsatilayotgan ilovalar soniga teng. Bu shuni anglatadiki, (matematik taxminlarni qo'shish qoidasiga ko'ra), Loch navbatidagi ilovalarning o'rtacha soni Lsyst tizimidagi ilovalarning o'rtacha sonidan xizmat ko'rsatilayotgan ilovalarning o'rtacha soniga teng. Xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlar soni nolga teng (agar kanal bo'sh bo'lsa) yoki bitta (agar u band bo'lsa) bo'lishi mumkin. Bunday tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi kanalning band bo'lish ehtimoliga teng (biz uni Rzan deb belgiladik). Shubhasiz, Pzan kanalning bo'sh bo'lish ehtimoli p0 minus birga teng:

va nihoyat

Shunday qilib, QS samaradorligining barcha xususiyatlari topildi.

Biz o'quvchini misolni o'zi hal qilishni taklif qilamiz: bir kanalli QS - bu l = 2 (soatiga poezdlar) intensivligi bilan eng oddiy poezdlar oqimini qabul qiladigan temir yo'l marshall stantsiyasi. Poezdga texnik xizmat ko'rsatish (tarqatish) o'rtacha qiymat tob = 20 (min.) bilan tasodifiy (indikativ) vaqt davom etadi. Stansiyaning yetib kelish parkida ikkita yo‘l bor, ularda kelayotgan poyezdlar xizmatni kutishlari mumkin; agar ikkala yo'l ham band bo'lsa, poezdlar tashqi yo'llarda kutishga majbur bo'ladi. (Stansiyaning chegaralangan, statsionar ish rejimi uchun) topish kerak: stansiya bilan bog'langan Lsystem poezdlarining o'rtacha sonini, poezdning stansiyada bo'lgan o'rtacha vaqtini (ichki yo'llarda, tashqi yo'llarda va ostida) xizmat), tarqatish uchun navbatda turgan Lof poyezdlarining o'rtacha soni (qaysi yo'l bo'lishidan qat'i nazar), poezdning navbatda turishining o'rtacha vaqti Woch. Bundan tashqari, Lext tashqi yo'llarida tarqatilishini kutayotgan poezdlarning o'rtacha sonini va bu kutishning o'rtacha vaqtini topishga harakat qiling (oxirgi ikki qiymat Little formulasi bilan bog'liq). Nihoyat, agar stansiya bitta poyezdning bir soatlik to‘xtab qolgani uchun a (rubl) jarima to‘lasa, stansiya tashqi yo‘llarda poyezdlar to‘xtab qolgani uchun to‘lashi kerak bo‘lgan jami kunlik jarima Sh ni toping. Har holda, biz javoblarni xabar qilamiz: Lcist = 2 (poezd), Wsyst = i (soat), Loch = 4/3 (poezd), Woch = 2/3 (soat), Lext = 16/27 (poezd), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (soat). Tashqi yo‘llarda poyezdlarni kutish uchun o‘rtacha kunlik Sh jarima miqdori bir sutkada stansiyaga kelgan poyezdlarning o‘rtacha sonini, tashqi yo‘llarda poyezdlarni kutish vaqtini va soatlik jarimani a: Sh ≈ 14,2a ga ko‘paytirish yo‘li bilan olinadi.