Jednokanálový a viackanálový smos s neobmedzeným frontom. Jednokanálový smo s pohotovostným režimom. v disciplíne "Matematické metódy"

V praxi sú celkom bežné jednokanálové QS s frontom (lekár obsluhujúci pacientov, procesor vykonávajúci strojové príkazy). Preto je potrebné podrobnejšie zvážiť jednokanálové QS s frontom.

Nech existuje jednokanálový QS s radom, na ktorý nie sú kladené žiadne obmedzenia (ani na dĺžku radu, ani na čakaciu dobu). Tento QS prijíma tok aplikácií s intenzitou l; tok služieb má intenzitu m, ktorá je inverzná k priemernému času obsluhy požiadavky t asi. Treba nájsť konečné pravdepodobnosti stavy QS, ako aj charakteristiky jeho účinnosti:

L SYST– priemerný počet požiadaviek v systéme;

W SYST– priemerný čas, počas ktorého žiadosť zostáva v systéme;

L VEĽMI– priemerný počet žiadostí vo fronte;

W VEĽMI– priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva vo fronte;

P ZAN- pravdepodobnosť, že kanál je obsadený (stupeň zaťaženia kanála).

Čo sa týka absolútneho šírku pásma A a relatívne Q, potom ich nie je potrebné počítať: vzhľadom na skutočnosť, že front je neobmedzený, každá požiadavka bude skôr či neskôr obsluhovaná, teda z rovnakého dôvodu.

Riešenie. Stav systému, ako predtým, bude očíslovaný počtom aplikácií v QS:

-S 0 – kanál je voľný;

-S 1 – kanál je zaneprázdnený (vybavuje požiadavku), nie je žiadny front;

-S 2 – kanál je obsadený, jedna požiadavka je vo fronte;

-S k – kanál je obsadený, k-1 aplikácie sú v rade.

Teoreticky je počet stavov neobmedzený (nekonečný). Vzorce pre konečné pravdepodobnosti v schéme smrti a reprodukcie boli odvodené len pre prípad konečného počtu stavov, ale budeme predpokladať, že ich použijeme pre nekonečný počet stavov. Potom bude počet členov vo vzorci nekonečný. Získame výraz pre p o:

Séria vo vzorci (17) je geometrická postupnosť. Vieme, že rad konverguje - je to nekonečne klesajúca progresia s menovateľom r. Keď sa séria rozchádza (čo je nepriamy, hoci nie striktný dôkaz, že konečné pravdepodobnosti stavov p o, p 1, …, p k,...existujú len vtedy, keď ). potom:

Poďme zistiť priemerný počet žiadostí do CMO L SYST. Náhodná premenná Z - počet aplikácií v systéme - má možné hodnoty 0, 1, 2, ..., k, ... s pravdepodobnosťou p o, p 1, …, p k,... Jeho matematické očakávanie sa rovná:

Pomocou Littleovho vzorca (9) nájdeme priemerný čas, počas ktorého žiadosť zostáva v systéme:

Poďme zistiť priemerný počet žiadostí vo fronte. Budeme uvažovať takto: počet aplikácií vo fronte sa rovná počtu aplikácií v systéme mínus počet aplikácií v službe. To znamená (podľa pravidla pridávania matematických očakávaní) priemerný počet žiadostí vo fronte L VEĽMI rovná priemernému počtu aplikácií v systéme L SYST mínus priemerný počet aplikácií v službe. Počet žiadostí v rámci služby môže byť buď nula (ak je kanál voľný) alebo jedna (ak je obsadený). Matematické očakávanie takejto náhodnej premennej sa rovná pravdepodobnosti, že kanál je obsadený P ZAN. Je zrejmé, že:

Preto je priemerný počet žiadostí v rámci služby:

Pomocou Littleovho vzorca (9) zistíme priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva vo fronte.

Pre QS s poruchami:

Pre SMO s neobmedzeným čakaním absolútna aj relatívna priepustnosť strácajú zmysel, pretože každá prichádzajúca požiadavka bude skôr či neskôr obsluhovaná. Pre takéto QS dôležité ukazovatele sú:

Pre Zmiešaný typ QS používajú sa obe skupiny ukazovateľov: relatívne aj absolútna priepustnosť a charakteristiky očakávania.

V závislosti od účelu operácie zaraďovania do fronty je možné zvoliť ktorýkoľvek z daných indikátorov (alebo súbor indikátorov) ako kritérium účinnosti.

Analytický model QS je súbor rovníc alebo vzorcov, ktoré umožňujú určiť pravdepodobnosti stavov systému počas jeho prevádzky a vypočítať ukazovatele výkonnosti na základe známych charakteristík vstupného toku a servisných kanálov.

Neexistuje žiadny všeobecný analytický model pre ľubovoľný QS. Analytické modely boli vyvinuté pre obmedzený počet špeciálnych prípadov QS. Analytické modely, ktoré viac či menej presne odrážajú skutočné systémy, sú zvyčajne zložité a ťažko vizualizovateľné.

Analytické modelovanie QS je značne uľahčené, ak procesy prebiehajúce v QS sú markovovské (toky požiadaviek sú jednoduché, servisné časy sú distribuované exponenciálne). V tomto prípade možno všetky procesy v QS opísať obyčajnými diferenciálnymi rovnicami a v obmedzujúcom prípade pre stacionárne stavy lineárnymi algebraickými rovnicami a po ich vyriešení určiť vybrané ukazovatele účinnosti.

Pozrime sa na príklady niektorých QS.

2.5.1. Viackanálové QS s poruchami

Príklad 2.5. Traja dopravní inšpektori kontrolujú vodičom nákladné listy kamióny. Ak je aspoň jeden revízor voľný, prechádzajúci kamión je zastavený. Ak sú všetci inšpektori zaneprázdnení, kamión prejde bez zastavenia. Tok kamiónov je jednoduchý, čas kontroly je náhodný s exponenciálnym rozložením.

Táto situácia môže byť modelovaná trojkanálovým QS s poruchami (bez frontu). Systém je otvorený, s homogénnymi požiadavkami, jednofázový, s absolútne spoľahlivými kanálmi.

Popis stavov:

Všetci inšpektori sú slobodní;

Jeden inšpektor je zaneprázdnený;

Dvaja inšpektori sú zaneprázdnení;

Traja inšpektori sú zaneprázdnení.

Graf stavu systému je znázornený na obr. 2.11.

Na grafe: - intenzita prúdu nákladných vozidiel; - intenzita kontrol dokladov jedným dopravným inšpektorom.

Simulácia sa vykonáva na určenie časti vozidiel, ktoré nebudú testované.

Riešenie

Požadovaná časť pravdepodobnosti je pravdepodobnosť zamestnania všetkých troch inšpektorov. Keďže stavový graf predstavuje typickú schému „smrť a reprodukcia“, nájdeme pomocou závislostí (2.2).

Priepustnú kapacitu tohto miesta dopravného inšpektora možno charakterizovať relatívna priepustnosť:

Príklad 2.6. Na prijímanie a spracovanie hlásení z prieskumnej skupiny bola na spravodajskom oddelení spolku určená skupina troch dôstojníkov. Predpokladaná intenzita toku hlásení je 15 hlásení za hodinu. Priemerný čas na spracovanie jedného hlásenia jedným úradníkom je . Každý dôstojník môže prijímať hlásenia od ktorejkoľvek prieskumnej skupiny. Prepustený dôstojník spracuje posledné z prijatých hlásení. Prichádzajúce hlásenia musia byť spracované s pravdepodobnosťou minimálne 95 %.

Zistite, či pridelený tím troch dôstojníkov postačuje na splnenie pridelenej úlohy.

Riešenie

Skupina dôstojníkov funguje ako CMO s poruchami, ktorá pozostáva z troch kanálov.

Tok správ s intenzitou možno považovať za najjednoduchšie, keďže ide o súčet niekoľkých prieskumných skupín. Intenzita obsluhy . Distribučný zákon je neznámy, ale to nie je dôležité, pretože sa ukázalo, že pre systémy s poruchami môže byť ľubovoľné.

Popis stavov a stavový graf QS bude podobný ako v príklade 2.5.

Keďže stavový graf je schéma „smrť a reprodukcia“, existujú preň hotové výrazy pre obmedzujúce pravdepodobnosti stavu:

Postoj je tzv danej intenzite toku aplikácií. Jeho fyzikálny význam je nasledovný: hodnota predstavuje priemerný počet požiadaviek prichádzajúcich na QS počas priemerného času obsluhy jednej požiadavky.

V príklade .

V uvažovanom Zlyhanie SMO nastane, keď sú všetky tri kanály obsadené, tzn. potom:

Pretože pravdepodobnosť zlyhania pri spracovaní výkazov je viac ako 34 % (), potom je potrebné zvýšiť personál skupiny. Zdvojnásobme zloženie skupiny, to znamená, že CMO bude mať teraz šesť kanálov, a vypočítajme:

Prichádzajúce hlásenia tak bude môcť s 95% pravdepodobnosťou spracovať len skupina šiestich policajtov.

2.5.2. Viackanálové QS s čakaním

Príklad 2.7. Na úseku prechodu cez rieku sa nachádza 15 podobných prechodových zariadení. Tok techniky prichádzajúcej na priecestie je v priemere 1 jednotka/min, priemerný čas prechodu jednej jednotky techniky je 10 minút (vrátane návratu prejazdového vozidla).

Posúdiť hlavné charakteristiky prechodu, vrátane pravdepodobnosti okamžitého prechodu ihneď po príchode jednotky techniky.

Riešenie

Absolútna priepustnosť, teda všetko, čo sa blíži k priecestiu, je prakticky okamžite prejdené.

Priemerný počet prevádzkovaných prechodových zariadení:

Využitie trajektov a miery prestojov:

Bol vyvinutý aj program na riešenie príkladu. Predpokladá sa, že časové intervaly príchodu zariadenia na križovatku a čas prechodu sú rozdelené podľa exponenciálneho zákona.

Miera využitia križovatky po 50 jazdách je takmer rovnaká: .

Maximálna dĺžka frontu je 15 jednotiek, priemerný čas strávený vo fronte je asi 10 minút.

IN komerčné aktivity Napríklad obchodný riaditeľ môže slúžiť ako jednokanálový QS s neobmedzeným čakaním, pretože je spravidla nútený obsluhovať žiadosti rôzneho charakteru: dokumenty, telefonické rozhovory, stretnutia a rozhovory s podriadenými, zástupcami. daňový úrad, polícia, komoditní experti, marketéri, dodávatelia produktov a riešiť problémy v komoditnej a finančnej sfére s vysoký stupeň finančná zodpovednosť, ktorá je spojená s povinným plnením požiadaviek, ktoré niekedy netrpezlivo čakajú na splnenie svojich požiadaviek, a chyby nesprávnej obsluhy sú spravidla ekonomicky veľmi významné.

Zároveň tovar dovážaný na predaj (služba) v sklade tvorí rad na obsluhu (predaj).

Dĺžka frontu je počet tovaru určeného na predaj. V tejto situácii predajcovia vystupujú ako kanály obsluhujúce tovar. Ak je množstvo tovaru určeného na predaj veľké, tak v tomto prípade máme do činenia s typickým prípadom QS s čakaním.

Uvažujme o najjednoduchšom jednokanálovom QS s čakaním na obsluhu, ktorý prijíma Poissonov tok požiadavky s intenzitou l a intenzitou obsluhy µ.

Okrem toho sa požiadavka prijatá v čase, keď je kanál zaneprázdnený obsluhou, zaradí do frontu a čaká na obsluhu.

Označený stavový graf takéhoto systému je znázornený na obr. 3.5

Počet možných stavov je nekonečný:

Kanál je voľný, nie je tam žiadny front, ;

Kanál je zaneprázdnený službou, nie je tam žiadny front, ;

• - kanál je zaneprázdnený, jedna požiadavka je vo fronte;
• - kanál je zaneprázdnený, požiadavka je vo fronte.

Modely na odhad pravdepodobnosti stavov QS s neobmedzeným frontom je možné získať zo vzorcov pridelených pre QS s neobmedzeným frontom prechodom na limit pri m>?:

Ryža. 3.5

Treba poznamenať, že pre QS s obmedzenou dĺžkou frontu vo vzorci

existuje geometrická postupnosť s prvým členom 1 a menovateľom. Takáto postupnosť je súčtom nekonečného počtu členov at. Tento súčet konverguje, ak progresia, ktorá nekonečne klesá pri, ktorý určuje prevádzkový režim QS v ustálenom stave, s frontom pri môže časom rásť do nekonečna.

Keďže v uvažovanom QS neexistuje žiadne obmedzenie na dĺžku frontu, môže byť obsluhovaná akákoľvek požiadavka, teda relatívna priepustnosť a absolútna priepustnosť

Pravdepodobnosť, že k aplikácií je vo fronte, je:

Priemerný počet aplikácií vo fronte -

Priemerný počet aplikácií v systéme -

Priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva v systéme -

Priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva v systéme -

Ak v jednokanálovom QS s čakaním je intenzita prijatých požiadaviek väčšia ako intenzita služby, potom sa front neustále zvyšuje. V tomto ohľade analýza stabilných systémov QS pracujúcich v stacionárnom režime pri.

V komerčných činnostiach je bežnejší QS s čakaním (poradie).

Uvažujme jednoduchý jednokanálový QS s obmedzeným frontom, v ktorom je počet miest v rade m pevnou hodnotou. V dôsledku toho žiadosť prijatá v čase, keď sú všetky miesta v rade obsadené, nie je prijatá na obsluhu, nezaradí sa do radu a opustí systém.

Graf tohto QS je znázornený na obr. 3.4 a zhoduje sa s grafom na obr. 2.1 popisujúci proces „narodenie-smrť“, s tým rozdielom, že v prítomnosti iba jedného kanála.

Označený graf procesu „narodenie - smrť“ služby, všetky intenzity tokov služieb sú rovnaké

Stavy QS možno znázorniť takto:

S0 - servisný kanál je bezplatný,

S, - servisný kanál je zaneprázdnený, ale nie je tam žiadny front,

S2 - servisný kanál je zaneprázdnený, vo fronte je jedna požiadavka,

S3 - servisný kanál je zaneprázdnený, vo fronte sú dve požiadavky,

Sm+1 - obslužný kanál je obsadený, všetkých m miest vo fronte je obsadených, akákoľvek následná požiadavka je zamietnutá.

Pre popis náhodný proces QS môže používať vyššie uvedené pravidlá a vzorce. Napíšme výrazy, ktoré určujú limitné pravdepodobnosti stavov:

Výraz pre p0 možno v tomto prípade zapísať jednoduchším spôsobom s využitím skutočnosti, že menovateľ obsahuje geometrickú postupnosť vzhľadom na p, potom po príslušných transformáciách dostaneme:

c= (1-s)

Tento vzorec platí pre všetky p iné ako 1, ale ak p = 1, potom p0 = 1/(m + 2) a všetky ostatné pravdepodobnosti sa tiež rovnajú 1/(m + 2).

Ak predpokladáme m = 0, prejdeme od uvažovania jednokanálového QS s čakaním k už uvažovanému jednokanálovému QS s odmietnutím služby.

Skutočne, výraz pre hraničnú pravdepodobnosť p0 v prípade m = 0 má tvar:

po = m / (l+m)

A v prípade l = m má hodnotu p0 = 1 / 2.

Stanovme hlavné charakteristiky jednokanálového QS s čakaním: relatívna a absolútna priepustnosť, pravdepodobnosť zlyhania, ako aj priemerná dĺžka frontu a priemerný čas čakania na aplikáciu vo fronte.

Žiadosť je odmietnutá, ak príde v čase, keď je QS už v stave Sm+1, a teda všetky miesta vo fronte sú obsadené a jeden kanál obsluhuje

Pravdepodobnosť poruchy je teda určená pravdepodobnosťou výskytu

Sm+1 uvádza:

Ptk = pm+1 = сm+1 * p0

Relatívna priepustnosť alebo podiel obsluhovaných požiadaviek prichádzajúcich za jednotku času je určený výrazom

Q = 1- rotk = 1- cm+1 * p0

absolútna priepustnosť je:

Stanoví sa priemerný počet aplikácií L vo fronte na službu matematické očakávanie náhodná premenná k - počet žiadostí stojacich vo fronte

Náhodná premenná k nadobúda iba nasledujúce celočíselné hodnoty:

• 1 - vo fronte je jedna aplikácia,
• 2 - vo fronte sú dve aplikácie,

t-všetky miesta v poradí sú obsadené

Pravdepodobnosti týchto hodnôt sú určené zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami stavov, počnúc stavom S2. Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej k je znázornený takto:

Tabuľka 1. Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

Matematické očakávanie tejto náhodnej premennej je:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

Vo všeobecnom prípade pre p < 1 možno tento súčet transformovať pomocou modelov geometrickej postupnosti na vhodnejšiu formu:

Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)* p0

V špeciálnom prípade, keď p = 1, keď sú všetky pravdepodobnosti pk rovnaké, môžete použiť výraz pre súčet členov číselného radu

1+2+3+ m = m(m+1)

Potom dostaneme vzorec

L"och= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).

Použitím podobných úvah a transformácií je možné ukázať, že priemerný čas čakania na vybavenie požiadavky vo fronte je určený Littleovými vzorcami

Bod = Loch/A (pri p = 1) a T1och = L"och/A (pri p = 1).

Tento výsledok, keď sa ukáže, že Toc ~ 1/l, sa môže zdať zvláštny: so zvyšujúcou sa intenzitou toku aplikácií sa zdá, že dĺžka frontu sa zvyšuje a priemerná čakacia doba sa znižuje. Treba však mať na pamäti, že po prvé, hodnota Loch je funkciou lam a po druhé, uvažovaný QS má obmedzenú dĺžku frontu na maximálne m aplikácií.

Žiadosť prijatá QS v čase, keď sú všetky kanály obsadené, je odmietnutá, a preto je jej „čakací“ čas v QS nulový. To vedie vo všeobecnom prípade (pre p? 1) k poklesu Tochromostu l, keďže podiel takýchto žiadostí stúpa so zvyšujúcim sa l.

Ak upustíme od obmedzenia dĺžky frontu, t.j. priamy m--> >?, potom prípady p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Keď je k dostatočne veľké, pravdepodobnosť pk má tendenciu k nule. Preto bude relatívna priepustnosť Q = 1 a absolútna priepustnosť sa bude rovnať A --l Q -- l Všetky prichádzajúce požiadavky sú teda obsluhované a priemerná dĺžka frontu sa bude rovnať:

Loch = p2 1-p

a priemerná doba čakania podľa Littleovho vzorca

Bod = Loch/A

V limite p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Limitné pravdepodobnosti stavov teda nemožno určiť: pre Q = 1 sa rovnajú nule. V skutočnosti QS neplní svoje funkcie, pretože nie je schopný obsluhovať všetky prichádzajúce aplikácie.

Nie je ťažké určiť, že podiel obsluhovaných aplikácií a absolútna priepustnosť sú v priemere c a m, avšak neobmedzený nárast fronty, a teda čakacej doby v nej vedie k tomu, že po určitom čase časové aplikácie sa začnú hromadiť vo fronte na nekonečne dlhý čas.

Ako jedna z charakteristík QS sa používa priemerný čas Tsmo zotrvania aplikácie v QS vrátane priemerného času stráveného vo fronte a priemerného času služby. Táto hodnota sa vypočíta pomocou Littleových vzorcov: ak je dĺžka frontu obmedzená, priemerný počet aplikácií vo fronte sa rovná:

Lsmo= m+1;2

Tsmo= Lsmo; na p?1

A potom sa priemerný čas, počas ktorého požiadavka zostane v systéme zaraďovania (vo fronte aj v rámci služby), rovná:

Tsmo= m+1 pri p < 1 2 m

V praxi je celkom bežné nájsť jednokanálové lekárske služby s radom (lekár obsluhujúci pacientov; telefónny automat s jednou kabínkou; počítač vykonávajúci príkazy používateľov). V teórii radenia zaujímajú osobitné miesto aj jednokanálové QS s radom (k takýmto QS patrí väčšina doteraz získaných analytických vzorcov pre nemarkovské systémy). Preto budeme venovať osobitnú pozornosť jednokanálovým QS s frontom.

Nech existuje jednokanálový QS s radom, na ktorý nie sú kladené žiadne obmedzenia (ani na dĺžku radu, ani na čakaciu dobu). Tento QS prijíma tok požiadaviek s intenzitou λ; tok služieb má intenzitu μ, čo je prevrátená hodnota priemerného času obsluhy požiadavky tob. Je potrebné nájsť konečné pravdepodobnosti stavov QS, ako aj charakteristiky jeho účinnosti:

Lsyst - priemerný počet aplikácií v systéme,

Wsyst je priemerný čas, počas ktorého požiadavka zostáva v systéme,

Loch - priemerný počet žiadostí vo fronte,

Woch – priemerný čas, počas ktorého aplikácia zostáva vo fronte,

Rzan je pravdepodobnosť, že kanál je zaneprázdnený (stupeň zaťaženia kanála).

Pokiaľ ide o absolútnu priepustnosť A a relatívnu Q, nie je potrebné ich počítať: vzhľadom na skutočnosť, že front je neobmedzený, každá požiadavka bude skôr či neskôr obsluhovaná, teda A = λ, z rovnakého dôvodu Q = 1.

Riešenie. Ako doteraz, stavy systému očíslujeme podľa počtu aplikácií v QS:

S0 - kanál je bezplatný,

S1 - kanál je zaneprázdnený (vybavuje požiadavku), nie je tu žiadny front,

S2 - kanál je zaneprázdnený, jedna požiadavka je vo fronte,

Sk - kanál je zaneprázdnený, k - 1 aplikácií je v rade.

Teoreticky je počet stavov neobmedzený (nekonečný). Stavový graf má tvar znázornený na obr. 4.11. Toto je schéma smrti a reprodukcie, ale s nekonečným počtom stavov. Pozdĺž všetkých šípok tok požiadaviek s intenzitou λ pohybuje systémom zľava doprava a sprava doľava - tok služieb s intenzitou μ.

Ryža. 4.11. Stavový graf QS vo forme schémy smrti a reprodukcie s nekonečným počtom stavov

V prvom rade si položme otázku, existujú v tomto prípade konečné pravdepodobnosti? Koniec koncov, počet stavov systému je nekonečný a v zásade, ako t→∞ sa front môže zvyšovať donekonečna! Áno, je to tak: konečné pravdepodobnosti takéhoto QS neexistujú vždy, ale iba vtedy, keď systém nie je preťažený. Dá sa dokázať, že ak p je striktne menšie ako jedna (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Ale vráťme sa k nášmu jednokanálovému QS s neobmedzeným frontom. Presne povedané, vzorce pre konečné pravdepodobnosti v schéme smrti a reprodukcie sme odvodili len pre prípad konečného počtu stavov, ale použijeme ich pre nekonečný počet stavov. Vypočítajme konečné pravdepodobnosti stavov pomocou vzorcov (4.21), (4.20). V našom prípade bude počet členov vo vzorci (4.21) nekonečný. Získame výraz pre p0:

Pravdepodobnosti p1, p2, ..., pk, ... zisťujeme podľa vzorcov:

odkiaľ, berúc do úvahy (4.38), nakoniec nájdeme:

p 1 = ρ (1 - ρ), = ρ2 (1 - ρ), . . ., pk= ρ4(1-ρ), . . . (4,39)

Ako vidíte, pravdepodobnosti p0, p1, ..., pk, ... tvoria geometrickú postupnosť s menovateľom p. Napodiv, maximum z nich p0 je pravdepodobnosť, že kanál bude úplne voľný. Bez ohľadu na to, ako je systém zaťažený frontom, či sa vôbec dokáže vyrovnať s tokom aplikácií (str.<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Poďme zistiť priemerný počet aplikácií v QS Lsystem. Náhodná premenná Z - počet aplikácií v systéme - má možné hodnoty 0, 1, 2, ..., k, ... s pravdepodobnosťami p0, p1, p2, ..., pk, ... Jeho matematické očakávanie je

(súčet sa neberie od 0 do ∞, ale od 1 do ∞, pretože nulový člen sa rovná nule).

Dosadíme výraz pre рk (4.39) do vzorca (4.40):

Teraz vezmime p (1 - p) zo znamienka súčtu:

Tu opäť použijeme „malý trik“: kpk-1 nie je nič iné ako derivácia vzhľadom na p z výrazu pk; znamená,

Obrátením operácií diferenciácie a sčítania dostaneme:

Teraz použijeme Littleov vzorec (4.25) a zistíme priemerný čas, počas ktorého žiadosť zostáva v systéme:

Poďme zistiť priemerný počet žiadostí vo fronte Loch. Budeme uvažovať takto: počet aplikácií vo fronte sa rovná počtu aplikácií v systéme mínus počet aplikácií v službe. To znamená (podľa pravidla pridávania matematických očakávaní), priemerný počet aplikácií vo fronte Loch sa rovná priemernému počtu aplikácií v systéme Lsyst mínus priemerný počet aplikácií v prevádzke. Počet žiadostí v rámci služby môže byť buď nula (ak je kanál voľný) alebo jedna (ak je obsadený). Matematické očakávanie takejto náhodnej premennej sa rovná pravdepodobnosti, že kanál je obsadený (označili sme ho Rzan). Je zrejmé, že Pzan sa rovná jednej mínus pravdepodobnosť p0, že kanál je voľný:

a nakoniec

Boli teda nájdené všetky charakteristiky účinnosti QS.

Vyzývame čitateľa, aby si sám vyriešil príklad: jednokanálová QS je železničná zoraďovacia stanica, ktorá prijíma najjednoduchší prúd vlakov s intenzitou λ = 2 (vlaky za hodinu). Údržba (rozloženie) vlaku trvá náhodný (orientačný) čas s priemernou hodnotou tob = 20 (min.). Príchodový park stanice má dve koľaje, na ktorých môžu prichádzajúce vlaky čakať na obsluhu; ak sú obe koľaje vyťažené, vlaky sú nútené čakať na vonkajších koľajach. Je potrebné zistiť (pre obmedzujúci, stacionárny režim prevádzky stanice): priemerný počet vlakov Lsystém priradený k stanici, priemerný čas Wsystém zotrvania vlaku v stanici (na vnútorných koľajach, na vonkajších koľajach a pod. služba), priemerný počet vlakov Lof čakajúcich v rade na rozpustenie (nezáleží na tom, na ktorých koľajach), priemerný čas, počas ktorého vlak zostane v rade. Okrem toho skúste nájsť priemerný počet vlakov čakajúcich na rozpustenie na externých tratiach Lext a priemerný čas tohto čakajúceho Wexta (posledné dve hodnoty súvisia podľa Littleovho vzorca). Nakoniec nájdite celkovú dennú pokutu Sh, ktorú bude musieť stanica zaplatiť za prestoje vlaku na vonkajších koľajach, ak stanica zaplatí pokutu a (ruble) za jednu hodinu prestoja jedného vlaku. Pre každý prípad uvádzame odpovede: Lcist = 2 (vlak), Wsyst = i (hodina), Loch = 4/3 (vlak), Woch = 2/3 (hodiny), Lext = 16/27 (vlak), Wext = 8/27 ≈ 0,297 (hodiny). Priemerná denná pokuta Ш za čakanie na vlaky na vonkajších koľajach sa získa vynásobením priemerného počtu vlakov prichádzajúcich do stanice za deň, priemerného času čakania na vlaky na vonkajších koľajach a hodinovej pokuty а: Ш ≈ 14,2а.