Pre jednokanálový smoo s neobmedzenou dĺžkou frontu. Zhrnutie lekcie "teória systémov radenia". Viackanálové QS s poruchami

V praxi je celkom bežný jednokanálový QS s radom (lekár obsluhujúci pacientov, telefónny automat s jednou kabínkou, počítač plniaci objednávky užívateľov). Teoreticky radenie osobitné miesto zaujímajú aj jednokanálové QS s frontom (k takýmto QS patrí väčšina doteraz získaných analytických vzorcov pre nemarkovovské systémy). Preto budeme venovať osobitnú pozornosť jednokanálovým QS s frontom.

Nech existuje jednokanálový QS s radom, na ktorý nie sú kladené žiadne obmedzenia (ani na dĺžku radu, ani na čakaciu dobu). Tento QS prijíma tok aplikácií s intenzitou X; obslužný tok má intenzitu recipročnú k priemernému obslužnému času požiadavky. Je potrebné nájsť konečné pravdepodobnosti stavov QS, ako aj charakteristiky jeho účinnosti:

Priemerný počet aplikácií v systéme,

Priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme,

Priemerný počet aplikácií vo fronte,

Priemerný čas, ktorý aplikácia strávi vo fronte,

Pravdepodobnosť, že je kanál zaneprázdnený (stupeň zaťaženia kanála).

Pokiaľ ide o absolútnu priepustnosť A a relatívnu Q, nie je potrebné ich počítať: vzhľadom na skutočnosť, že front je neobmedzený, každá aplikácia bude obsluhovaná skôr alebo neskôr, a to z rovnakého dôvodu

Riešenie. Stavy systému, ako doteraz, budú očíslované podľa počtu aplikácií v QS:

Kanál je bezplatný

Kanál je zaneprázdnený (vybavuje požiadavku), nie je tam žiadny front,

Kanál je zaneprázdnený, jedna aplikácia je vo fronte,

Kanál je zaneprázdnený, aplikácie sú vo fronte,

Počet stavov nie je teoreticky ničím obmedzený (nekonečne). Stavový graf má tvar znázornený na obr. 20.2. Toto je schéma smrti a reprodukcie, ale s nekonečným počtom stavov. Pre všetky šípky tok požiadaviek s intenzitou A prenáša systém zľava doprava a sprava doľava - tok služieb s intenzitou

V prvom rade si položme otázku, či existujú v tomto prípade konečné pravdepodobnosti? Koniec koncov, počet stavov systému je nekonečný a v zásade sa front môže zvyšovať donekonečna! Áno, je to pravda: konečné pravdepodobnosti takéhoto QS neexistujú vždy, ale iba vtedy, keď systém nie je preťažený. Dá sa dokázať, že ak je striktne menej ako jedna, potom konečné pravdepodobnosti existujú a pre , sa front zvyšuje bez obmedzenia. Táto skutočnosť sa zdá byť obzvlášť „nepochopiteľná“, keď by sa zdalo, že na systém nie sú žiadne nesplniteľné požiadavky: počas obsluhy jednej aplikácie príde v priemere jedna aplikácia a všetko by malo byť v poriadku, ale v skutočnosti to tak nie je.

S QS sa vyrovná s tokom aplikácií iba vtedy, ak je tento tok pravidelný a servisný čas tiež nie je náhodný, rovný intervalu medzi aplikáciami. V tomto "ideálnom" prípade nebude v QS vôbec žiadny rad, kanál bude neustále obsadený a bude pravidelne vydávať obsluhované požiadavky. Ale akonáhle sa tok požiadaviek alebo tok služieb stane aspoň trochu náhodným, front sa už bude neobmedzene zvyšovať. V praxi sa to nedeje len preto, že „nekonečné množstvo aplikácií vo fronte“ je abstrakcia. Toto sú hrubé chyby, ku ktorým môže viesť nahradenie náhodných premenných ich matematickými očakávaniami!

Ale vráťme sa k nášmu jednokanálovému QS s č obmedzený rad. Presne povedané, vzorce pre konečné pravdepodobnosti v schéme smrti a reprodukcie boli nami odvodené len pre prípad konečného počtu stavov, ale zoberme si voľnosť - použijeme ich pre nekonečný počet stavov. Vypočítajme konečné pravdepodobnosti stavov podľa vzorcov (19.8), (19.7). V našom prípade bude počet členov vo vzorci (19.8) nekonečný. Dostávame výraz pre

Séria vo vzorci (20.11) je geometrická postupnosť. Vieme, že keď rad konverguje - ide o nekonečne klesajúcu geometrickú progresiu s menovateľom. Pre , séria sa rozchádza (čo je nepriamy, aj keď nie rigorózny dôkaz, že pravdepodobnosti konečného stavu existujú len pre ). Teraz predpokladajme, že táto podmienka je splnená a keď zhrnieme priebeh v (20.11), máme

(20.12)

Pravdepodobnosti sa nachádzajú podľa vzorcov:

odkiaľ, berúc do úvahy (20.12), nakoniec zistíme:

Ako vidíte, pravdepodobnosti tvoria geometrickú progresiu s menovateľom . Napodiv, maximálna z nich je pravdepodobnosť, že kanál bude vôbec voľný. Bez ohľadu na to, ako zaneprázdnený je systém radenia, ak vôbec dokáže spracovať tok požiadaviek, najpravdepodobnejší počet požiadaviek v systéme bude 0.

Poďme zistiť priemerný počet aplikácií v QS . Tu sa musíte trochu pohrať. Náhodná premenná Z - počet aplikácií v systéme - má možné hodnoty s pravdepodobnosťou

Jeho matematické očakávanie je

(20.14)

(súčet sa neberie od 0 do, ale od 1 do, keďže nulový člen sa rovná nule).

Do vzorca (20.14) dosadíme výraz pre

Teraz to vyberme zo súčtu:

Tu opäť použijeme „malý trik“: nie je nič iné ako odvodenie pórov z výrazu znamená,

Zámenou operácií diferenciácie a súčtu dostaneme:

Ale súčet vo vzorci (20.15) nie je nič iné ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s prvým členom a menovateľom; tento súčet sa rovná a jeho derivácia . Nahradením tohto výrazu do (20.15) dostaneme:

(20.16)

Teraz aplikujme Littleov vzorec (19.12) a nájdime priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme:

Zistime priemerný počet požiadaviek vo fronte. Budeme argumentovať takto: počet požiadaviek vo fronte sa rovná počtu požiadaviek v systéme mínus počet obsluhovaných požiadaviek. Preto (podľa pravidla sčítania matematických očakávaní) sa priemerný počet žiadostí vo fronte rovná priemernému počtu žiadostí v systéme mínus priemerný počet aplikácií v prevádzke. Počet žiadostí v rámci služby môže byť buď nula (ak je kanál voľný) alebo jedna (ak je obsadený). Matematické očakávanie takejto náhodnej premennej sa rovná pravdepodobnosti, že kanál je obsadený (označili sme to ako ). Je zrejmé, že sa rovná jednej mínus pravdepodobnosť, že kanál je voľný;

Preto sa priemerný počet žiadostí v rámci služby rovná

Zvážte viackanálový QS (P> 1), na ktorého vstupe prichádza Poissonov tok požiadavky s intenzitou a, intenzita obsluhy každého kanála je p, maximálny možný počet miest v rade je obmedzený hodnotou T. Diskrétne stavy QS sú určené počtom žiadostí prijatých systémom, ktoré môžu byť zapísané:

Sq - všetky kanály sú zadarmo, k = 0;

S- iba jeden kanál je obsadený (akýkoľvek), k = 1;

*5*2 - iba dva kanály sú obsadené (akékoľvek), k = 2;

S n- všetci sú zaneprázdnení P kanály, k = p.

Kým je QS v ktoromkoľvek z týchto stavov, nie je tam žiadny front. Keď sú všetky servisné kanály zaneprázdnené, následné požiadavky vytvoria front, čím sa určí ďalší stav systému:

S n + - všetci sú zaneprázdnení P kanály a jedna aplikácia je vo fronte, k = P + 1;

S n +2 - všetko zaneprázdnené P kanály a dve aplikácie sú vo fronte, k = P + 2;

Sn+m - všetci sú zaneprázdnení P laná a všetko T miesta v rade k = n + m.

Stavový graf i-kanál CMO s fronta, obmedzené T miesta, znázornené na obr. 5.18.

Prechod QS do stavu s vyššími číslami je určený tokom prichádzajúcich požiadaviek s intenzitou

Ryža. 5.18

pričom podľa podmienky sa doručenia týchto žiadostí zúčastňuje P identické kanály s prietokom služieb rovným p pre každý kanál. Pripájaním nových kanálov do takéhoto stavu sa zároveň zvyšuje celková intenzita toku služieb S n , keď všetky P kanály budú obsadené. S príchodom frontu sa intenzita služby už nezvyšuje, pretože už dosiahla maximálnu hodnotu rovnajúcu sa ph.

Napíšme výrazy pre obmedzujúce pravdepodobnosti stavov

Výraz pre rho možno previesť pomocou vzorca geometrickej postupnosti pre súčet členov s menovateľom p /P:

Vytvorenie frontu je možné, keď novo prijatá požiadavka nájde v systéme aspoň P požiadavky, t.j. kedy bude systém p, p + 1, P + 2, (P + T- 1) požiadavky. Tieto udalosti sú nezávislé, takže pravdepodobnosť, že sú všetky kanály obsadené, sa rovná súčtu príslušných pravdepodobností r u Rp + rp +2 >>Rp+t- 1- Pravdepodobnosť vytvorenia frontu je teda

Pravdepodobnosť odmietnutia služby nastane, keď všetky P kanály a všetko T miesta v poradí sú obsadené

Relatívna priepustnosť sa bude rovnať

Absolútna šírka pásma

Priemerne obsadené kanály

Priemerné nečinné kanály

Miera obsadenosti (využívania) kanálov

Pomer nečinnosti kanála

Priemerný počet žiadostí vo fronte,

ak r/n = 1 má tento vzorec inú formu:

Priemernú dobu čakania v rade určujú Littleove vzorce

Priemerný čas zotrvania aplikácie v QS, ako pri jednokanálovom QS, je väčší ako priemerný čas čakania vo fronte o priemerný čas obsluhy rovnajúci sa 1/p, keďže aplikácia je vždy obsluhovaná iba jedným kanálom :

Príklad 5.21. Minimarket prijíma tok zákazníkov s intenzitou šesť zákazníkov za minútu, ktorých obsluhujú traja kontrolóri pokladní s intenzitou dvoch zákazníkov za minútu. Dĺžka radu je obmedzená na päť zákazníkov. Určte vlastnosti QS a vyhodnoťte jeho výkonnosť.

Riešenie

n = 3; T = 5; X=6; p = 2; p =x/x = 3; r/n = 1.

Nájdeme limitné pravdepodobnosti stavov QS:

Podiel doby nečinnosti kontrolórov-pokladníkov

Pravdepodobnosť, že je obsadený iba jeden kanál

Pravdepodobnosť, že dva kanály sú obsadené obsluhou

Pravdepodobnosť, že všetky tri kanály sú obsadené, je

Pravdepodobnosť, že sú obsadené všetky tri kanály a päť miest vo fronte, je

Pravdepodobnosť odmietnutia služby nastane, keď k=t+n== 5 + 3 = 8 a je p$ = p OTK = 0,127.

Relatívna a absolútna priepustnosť QS sa rovná Q = 1 - r otk= 0,873 a L = 0,873A. = 5,24 (kupujúci/min).

Priemerný počet obsadených kanálov a priemerná dĺžka frontu sú:

Priemerný čas čakania vo fronte n pobyt v QS sa rovná:

Systém služieb minimarketu si zaslúži veľkú pochvalu, pretože priemerná dĺžka frontu, priemerný čas strávený kupujúcim v rade sú malé.

Príklad 5.22. Na ovocno-zeleninovú základňu prichádzajú v priemere po 30 minútach autá s výrobkami z ovocia a zeleniny. Priemerný čas vykládky jedného kamiónu je 1,5 hod.. Vykládku vykonávajú dve skupiny nakladačov. Na území základne v štádiu pristátia nemôžu byť v rade čakajúce na vyloženie viac ako štyri vozidlá. Stanovme ukazovatele a zhodnoťme prácu QS.

Riešenie

SMO dvojkanálový, P= 2 s obmedzeným počtom miest v rade m= 4, intenzita prichádzajúceho prúdu l. \u003d 2 auto / h, intenzita prevádzky c \u003d 2/3 auto / h, intenzita zaťaženia p \u003d A. / p \u003d 3, r/n = 3/2 = 1,5.

Určujeme vlastnosti QS:

Pravdepodobnosť, že všetky posádky nie sú naložené, keď nie sú žiadne vozidlá,

Pravdepodobnosť odmietnutia, keď sú dve autá pri vykládke a štyri autá v rade,

Priemerný počet áut v rade

Podiel času nečinnosti pre nakladače je veľmi malý a predstavuje len 1,58 % pracovného času a pravdepodobnosť zamietnutia je vysoká – 36 % žiadostí spomedzi prijatých je zamietnutých vyloženie, oba tímy sú takmer plne obsadené, miera zamestnanosti je blízka jednote a rovná sa 0,96, relatívna priepustnosť je nízka - bude obsluhovaných iba 64% z počtu prijatých žiadostí, priemerná dĺžka fronty je 2,6 vozidla, preto sa CM O ns nedokáže vyrovnať s vykonaním požiadaviek na obsluhu a je potrebné zvýšiť počet nakladačových tímov a viac využívať pristávaciu plochu.

Príklad 5.23. obchodná firma prijíma skorú zeleninu zo skleníkov prímestskej štátnej farmy v náhodných časoch s intenzitou 6 jednotiek. o deň. Úžitkové miestnosti, vybavenie a pracovné zdroje umožňujú spracovávať a skladovať produkty v množstve 2 jednotiek. Spoločnosť zamestnáva štyroch ľudí, z ktorých každý dokáže spracovať produkty jednej dodávky v priemere do 4 hodín. práca na smeny je 12 hod.. Aká by mala byť kapacita skladu, aby kompletné spracovanie produktov bolo aspoň 97% z počtu dodávok?

Riešenie

Vyriešme problém postupným určením ukazovateľov QS pre rôzne hodnoty kapacity skladu T= 2, 3, 4, 5 atď. a porovnanie v každej fáze výpočtu pravdepodobnosti služby s danou hodnotou p° () C = 0,97.

Intenzitu zaťaženia určujeme:

Nájdite pravdepodobnosť alebo zlomok času nečinnosti pre t = 2:

pravdepodobnosť odmietnutia služby alebo podiel stratených aplikácií,

Pravdepodobnosť služby alebo podiel obsluhovaných požiadaviek spomedzi prijatých je

Keďže získaná hodnota je menšia ako daná hodnota 0,97, pokračujeme vo výpočtoch pre T= 3. Pre túto hodnotu majú ukazovatele stavov QS hodnoty

Pravdepodobnosť služby je v tomto prípade tiež menšia ako daná hodnota, takže pokračujeme vo výpočtoch pre ďalšiu t = 4, pre ktorý majú indikátory stavu tieto hodnoty: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; pofc= 0,972. Teraz získaná hodnota pravdepodobnosti služby spĺňa podmienku problému, pretože 0,972 > 0,97, preto je potrebné zvýšiť kapacitu skladu na objem 4 jednotiek.

Na dosiahnutie danej pravdepodobnosti obsluhy je možné rovnakým spôsobom vybrať optimálny počet osôb pri spracovaní zeleniny postupným výpočtom ukazovateľov QS pre n = 3, 4, 5 atď. Kompromisné riešenie možno nájsť porovnaním a kontrastom nákladov spojených tak so zvýšením počtu zamestnancov, ako aj vytvorením špeciálneho technologické vybavenie ale spracovanie zeleniny v obchodnom podniku.

Modely radenia teda kombinované s ekonomické metódy definície úloh umožňujú analyzovať existujúce QS, vypracovať odporúčania na ich reorganizáciu na zvýšenie efektivity práce a tiež určiť optimálne ukazovatele novovytvorených QS.

Príklad 5.24. Do autoumyvárne príde v priemere deväť áut za hodinu, ale ak sú v rade už štyri autá, noví zákazníci spravidla nestoja v rade, ale prechádzajú okolo. Priemerná doba umývania auta je 20 minút a umývajú sa iba dve miesta. Priemerné náklady na umývanie auta sú 70 rubľov. Určte priemernú stratu výnosov z umývania auta počas dňa.

Riešenie

X= 9 auto/h; = 20 min; n = 2, t = 4.

Zistenie intenzity zaťaženia Stanovenie podielu odstávok umývania auta

Pravdepodobnosť zlyhania

Relatívna priepustnosť je Absolútna priepustnosť Priemerný počet áut v rade

Priemerný počet aplikácií v službe,

Priemerná doba čakania v rade

Priemerný čas umývania auta

Takto nebude doručených 34% žiadostí, strata za 12 hodín práce jedného dňa bude v priemere 2570 rubľov. (12*9* 0,34 70), t.j. 52 % všetkých príjmov, pretože p otk = 0,52 p 0 ^ s.

• relatívna priechodnosť alebo pravdepodobnosť služby, absolútna priechodnosť priemerný počet zamestnaných posádok koeficient zamestnanosti prácou osádok nakladačov

Zvážte jednokanálový systém radenia s čakaním.

Budeme predpokladať, že prichádzajúci tok servisných požiadaviek je najjednoduchší tok s intenzitou λ.

Intenzita servisného toku sa rovná μ. Trvanie služby je náhodná premenná, ktorá podlieha zákonu o exponenciálnom rozdelení. Tok služieb je najjednoduchší Poissonov tok udalostí.

Požiadavka, ktorá príde v čase, keď je kanál zaneprázdnený, je zaradená do frontu a čaká na obsluhu. Budeme predpokladať, že veľkosť frontu je obmedzená a nemôže pojať viac ako m aplikácie, t.j. žiadosť, ktorá bola podaná v čase jej príchodu do SOT m +1 žiadostí (m čakajúci v rade a jeden v službe) opúšťa QS.

Systém rovníc popisujúcich proces v tomto systéme má riešenie:

(0‑1)

Menovateľom prvého výrazu je geometrická postupnosť s prvým členom 1 a menovateľom ρ, odkiaľ dostaneme

Pre ρ = 1 sa môžete uchýliť k priamemu výpočtu

(0‑8)

Priemerný počet lístkov v systéme.

Keďže priemerný počet aplikácií v systéme

(0‑9)

kde je priemerný počet aplikácií v prevádzke, potom vedieť, že zostáva nájsť. Pretože existuje len jeden kanál, potom počet obsluhovaných požiadaviek môže byť 0 alebo 1 s pravdepodobnosťou P° a P1 = 1 - P° respektíve odkiaľ

(0‑10)

a priemerný počet aplikácií v systéme sa rovná

(0‑11)

Priemerná doba čakania na žiadosť vo fronte.

(0‑12)

t.j. priemerná doba čakania na lístok v rade sa rovná priemernému počtu lístkov v rade, vydelenému intenzitou toku požiadaviek.

Priemerný čas zotrvania požiadavky v systéme.

Doba zotrvania žiadosti v systéme je súčtom doby čakania na žiadosť v rade a doby obsluhy. Ak je zaťaženie systému 100 %, potom =1/μ, inak = q/μ. Odtiaľ

(0‑13)

Obsah práce.

Príprava experimentálnych nástrojov .

Vykonáva sa podobne v súlade so všeobecnými pravidlami.

Výpočet na analytickom modeli.

1. IN aplikácia Microsoft Excel, pripravte si nasledujúcu tabuľku.

2. Do stĺpcov pre parametre QS tabuľky zapíšte počiatočné údaje, ktoré sú určené pravidlom:

m=1,2,3

(maximálna dĺžka frontu).

Pre každú hodnotu m je potrebné nájsť teoretické a experimentálne hodnoty indikátorov QS pre takéto dvojice hodnôt:

= <порядковый номер в списке группы>

3. Do stĺpcov s ukazovateľmi analytického modelu zadajte príslušné vzorce.

Experimentujte na simulačnom modeli.

1. Nastavte režim spustenia na exponenciálne distribuovaný servisný čas nastavením hodnoty zodpovedajúceho parametra na 1.

2. Pre každú kombináciu m a spustite model.

3. Výsledky štartov zapíšte do tabuľky.

4. Zadajte vzorce do príslušných stĺpcov tabuľky na výpočet priemernej hodnoty ukazovateľa P otk, q a A.

Analýza výsledkov .

1. Analyzujte výsledky získané teoretickými a experimentálnymi metódami a porovnávajte výsledky navzájom.

2. Pre m=3 vyneste grafy závislosti do jedného diagramu P otvorené z teoreticky a experimentálne získaných údajov.

Optimalizácia parametrov QS .

Vyriešte problém s optimalizáciou veľkosti počtu miest v rade m pre zariadenie s priemernou dobou obsluhy = z pohľadu maximalizácie zisku. Ako podmienky problému vezmite:

- príjem z obsluhy jednej aplikácie rovný 80 USD/hod.,

- náklady na údržbu jedného zariadenia sa rovnajú 1 c.u./hod.

1. Pre výpočty je vhodné vytvoriť tabuľku:

Prvý stĺpec je vyplnený hodnotami čísel prirodzeného radu (1,2,3…).

Všetky bunky druhého a tretieho stĺpca sú vyplnené hodnotami a .

V bunkách stĺpcov od štvrtého do deviateho sa prenesú vzorce pre stĺpce tabuľky sekcie 0.

Zadajte hodnoty do stĺpcov s počiatočnými údajmi sekcií Príjmy, Výdavky, Zisk (pozri vyššie).

Do stĺpcov s vypočítanými hodnotami sekcií Príjmy, Výdavky, Zisk zapíšte vzorce výpočtu:

- počet aplikácií za jednotku času

Nr = A

- celkový príjem za jednotku času

I S = I r *N r

- celková spotreba za jednotku času

ES = Es + Eq *(n-1)

- zisk za jednotku času

P = I S - E S

Kde

Ja r - príjem z jednej aplikácie,

E s - náklady na prevádzku jedného zariadenia,

E q - náklady na prevádzku jedného miesta v rade.

Grafy pre P otk ,

- tabuľku s údajmi, aby ste našli to najlepšie m a hodnota m opt,

- graf zisku za jednotku času od m .

Kontrolné otázky :

1) daj Stručný opis jednokanálový model QS s obmedzeným frontom.

2) Aké ukazovatele charakterizujú fungovanie jednokanálového QS s poruchami?

3) Ako sa vypočíta pravdepodobnosť p 0 ?

4) Aké sú pravdepodobnosti p ja

5) Ako zistiť pravdepodobnosť odmietnutia servisu aplikácie?

6) Ako nájsť relatívnu šírku pásma?

7) Aká je absolútna priepustnosť?

8) Ako sa vypočíta priemerný počet požiadaviek v systéme?

9) Uveďte príklady QS s obmedzeným frontom.

Úlohy .

1) Prístav má jedno nákladné kotvisko na vykladanie lodí. Prietok je 0,5 návštevy za deň. Priemerný čas vykládky jedného plavidla sú 2 dni. Ak sú v rade na vyloženie 3 plavidlá, prichádzajúce plavidlo sa odošle na vyloženie do iného kotviska. Nájdite ukazovatele výkonnosti kotviska.

2) Infopult železničnej stanice prijíma telefonické dopyty s intenzitou 80 žiadostí za hodinu. Operátor help desk odpovie na prichádzajúci hovor v priemere za 0,7 minúty. Ak je operátor zaneprázdnený, klientovi sa zobrazí správa „Čaká sa na odpoveď“, požiadavka je zaradená do fronty, ktorej dĺžka nepresahuje 4 požiadavky. Uveďte hodnotenie práce help desku a možnosti jeho reorganizácie

IN komerčné aktivity bežnejšie QS s čakaním (front).

Zoberme si jednoduchý jednokanálový QS s obmedzeným frontom, v ktorom je počet miest vo fronte m pevnou hodnotou. Následne aplikácia, ktorá príde v momente, keď sú všetky miesta vo fronte obsadené, nie je prijatá na obsluhu, nezaradí sa do frontu a opustí systém.

Graf tohto QS je znázornený na obr. 3.4 a zhoduje sa s grafom na obr. 2.1 popisujúci proces "narodenie - smrť", s tým rozdielom, že v prítomnosti iba jedného kanála.

Označený graf procesu "narodenie - smrť" služby, všetky intenzity tokov služieb sú rovnaké

Stavy QS môžu byť reprezentované nasledovne:

S0 - servisný kanál je bezplatný,

S, - servisný kanál je zaneprázdnený, ale nie je tam žiadny front,

S2 - servisný kanál je zaneprázdnený, vo fronte je jedna požiadavka,

S3 - servisný kanál je zaneprázdnený, vo fronte sú dve požiadavky,

Sm+1 - obslužný kanál je obsadený, všetkých m miest vo fronte je obsadených, každá ďalšia požiadavka je odmietnutá.

Pre popis náhodný proces QS môže používať vyššie uvedené pravidlá a vzorce. Napíšme výrazy definujúce limitné pravdepodobnosti stavov:

Výraz pre p0 možno v tomto prípade zapísať jednoduchšie, s využitím skutočnosti, že menovateľom je geometrická postupnosť vzhľadom na p, potom po príslušných transformáciách dostaneme:

c= (1-s)

Tento vzorec platí pre všetky p iné ako 1, ale ak p = 1, potom p0 = 1/(m + 2) a všetky ostatné pravdepodobnosti sa tiež rovnajú 1/(m + 2).

Ak predpokladáme m = 0, prejdeme od úvahy o jednokanálovom QS s čakaním k už uvažovanému jednokanálovému QS s odmietnutím služby.

Skutočne, výraz pre hraničnú pravdepodobnosť p0 v prípade m = 0 má tvar:

po \u003d m / (l + m)

A v prípade l \u003d m má hodnotu p0 \u003d 1/2.

Definujme hlavné charakteristiky jednokanálového QS s čakaním: relatívna a absolútna priepustnosť, pravdepodobnosť zlyhania, ako aj priemerná dĺžka frontu a priemerný čas čakania na aplikáciu vo fronte.

Požiadavka je odmietnutá, ak príde v momente, keď je QS už v stave Sm + 1 a teda všetky miesta v rade sú obsadené a obslúži jeden kanál

Pravdepodobnosť poruchy je teda určená pravdepodobnosťou výskytu

Sm+1 uvádza:

Potc = pm+1 = cm+1 * p0

Relatívna priepustnosť alebo podiel obsluhovaných požiadaviek prichádzajúcich za jednotku času je určený výrazom

Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0

absolútna šírka pásma je:

Priemerný počet žiadostí L stojacich vo fronte na obsluhu je určený matematické očakávanie náhodná premenná k - počet žiadostí stojacich vo fronte

náhodná premenná k nadobúda iba nasledujúce celočíselné hodnoty:

• 1 - vo fronte je jedna aplikácia,
• 2 - vo fronte sú dve aplikácie,

t-všetky miesta v poradí sú obsadené

Pravdepodobnosti týchto hodnôt sú určené zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami stavu, počnúc stavom S2. Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej k je znázornený takto:

Tabuľka 1. Zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej

Matematické očakávanie tejto náhodnej premennej je:

Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

Vo všeobecnom prípade pre p < 1 možno tento súčet transformovať pomocou modelov geometrickej postupnosti na vhodnejšiu formu:

Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0

V konkrétnom prípade pri p = 1, keď sa ukáže, že všetky pravdepodobnosti pk sú rovnaké, možno použiť výraz pre súčet členov číselného radu

1+2+3+ m = m (m+1)

Potom dostaneme vzorec

L "och \u003d m (m+1)* p0 = m (m+1)(p=1).

Aplikovaním podobného uvažovania a transformácií je možné ukázať, že priemerný čas čakania na vybavenie požiadavky a frontu je určený Littleovými vzorcami

Bod \u003d Loch / A (na p? 1) a T1och \u003d L "och / A (na p \u003d 1).

Takýto výsledok, keď sa ukáže, že Tox ~ 1/l, sa môže zdať zvláštny: so zvyšujúcou sa intenzitou toku požiadaviek sa zdá, že by sa mala zvýšiť dĺžka frontu a mala by sa znížiť priemerná doba čakania. Treba však mať na pamäti, že po prvé, hodnota Loch je funkciou lam a po druhé, uvažovaný QS má obmedzenú dĺžku frontu na maximálne m aplikácií.

Požiadavka, ktorá príde na QS v čase, keď sú všetky kanály obsadené, je odmietnutá, a preto je jej „čakací“ čas v QS nulový. To vedie vo všeobecnom prípade (pre p? 1) k zníženiu Tochrostomu l, pretože podiel takýchto aplikácií rastie s rastom l.

Ak upustíme od obmedzenia dĺžky radu, t.j. aspire m--> >?, potom prípady p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

Pre dostatočne veľké k má pravdepodobnosť pk tendenciu k nule. Preto bude relatívna priepustnosť Q \u003d 1 a absolútna priepustnosť sa bude rovnať A - l Q - l, preto sa obslúžia všetky prichádzajúce požiadavky a priemerná dĺžka frontu sa bude rovnať:

Loch = p2 1-p

a priemerná doba čakania podľa Littleovho vzorca

Bod \u003d Loch / A

V limite p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Preto nemožno určiť limitné pravdepodobnosti stavov: pre Q= 1 sa rovnajú nule. SOT v skutočnosti neplní svoje funkcie, pretože nie je schopná obsluhovať všetky prichádzajúce aplikácie.

Je ľahké určiť, že podiel obsluhovaných požiadaviek a absolútna priepustnosť, v tomto poradí, priemer c a m, však neobmedzený nárast vo fronte, a tým aj čakacej doby v ňom, vedie k tomu, že po chvíli sa požiadavky sa začnú hromadiť vo fronte na neobmedzený čas.

Ako jedna z charakteristík QS sa používa priemerný čas Tsmo zotrvania aplikácie v QS vrátane priemerného času stráveného vo fronte a priemerného času obsluhy. Táto hodnota je vypočítaná pomocou Littleových vzorcov: ak je dĺžka frontu obmedzená, priemerný počet aplikácií vo fronte sa rovná:

Lmo= m+1;2

tsmo= Lcmo; na p?1

Potom sa priemerný čas zotrvania požiadavky v systéme zaraďovania (vo fronte aj v rámci služby) rovná:

tsmo= m+1 pri p < 1 2 m

Viackanálový systém radenia s obmedzeným radom

Nechajte vstup QS so servisnými kanálmi prijímať Poissonov tok požiadaviek s intenzitou. Intenzita obsluhy požiadavky každým kanálom je rovnaká a maximálny počet miest vo fronte je rovnaký.

Graf takéhoto systému je znázornený na obrázku 7.

Obrázok 7 - Graf stavov viackanálového QS s obmedzeným frontom

Všetky kanály sú zadarmo, nie je tam žiadny front;

zaneprázdnený l kanály ( l= 1, n), nie je žiadny rad;

Všetkých n kanálov je zaneprázdnených, existuje rad i aplikácie ( i= 1, m).

Porovnanie grafov na obrázku 2 a obrázku 7 ukazuje, že druhý uvedený systém je špeciálnym prípadom systému narodenia a úmrtia, ak sú v ňom vykonané nasledujúce substitúcie (ľavé zápisy sa týkajú systému narodenia a úmrtia):

Výrazy pre konečné pravdepodobnosti sa dajú ľahko nájsť zo vzorcov (4) a (5). V dôsledku toho dostaneme:

K vytvoreniu radu dochádza vtedy, keď v momente prijatia ďalšej požiadavky v QS sú všetky kanály obsadené, t.j. v systéme je buď n, alebo (n+1),…, alebo (n + m - 1) zákazníkov. Pretože tieto udalosti sú nezlučiteľné, potom sa pravdepodobnosť vytvorenia radu p och rovná súčtu zodpovedajúcich pravdepodobností:

Požiadavka je odmietnutá, keď je obsadených všetkých m miest vo fronte, t.j.:

Relatívna priepustnosť je:

Priemerný počet žiadostí vo fronte je určený vzorcom (11) a možno ho zapísať ako:

Priemerný počet žiadostí obsluhovaných v QS možno zapísať ako:

Priemerný počet žiadostí v SOT:

Priemerný čas zotrvania aplikácie v QS a v rade je určený vzorcami (12) a (13).

Viackanálový systém radenia s neobmedzeným radom

Graf takéhoto QS je znázornený na obrázku 8 a je získaný z grafu na obrázku 7 s.

Obrázok 8 - Graf stavov viackanálového QS s neobmedzeným frontom

Vzorce pre konečné pravdepodobnosti možno získať zo vzorcov pre n-kanálový QS s ohraničeným frontom at. Treba mať na pamäti, že keď pravdepodobnosť p 0 = p 1 =…= p n = 0, t.j. rad narastá donekonečna. Preto tento prípad nie je z praktického hľadiska zaujímavý a ďalej sa uvažuje iba o prípade. Kedy z (26) dostaneme:

Vzorce pre zostávajúce pravdepodobnosti majú rovnaký tvar ako pre QS s obmedzeným frontom:

Z (27) dostaneme výraz pre pravdepodobnosť vytvorenia frontu aplikácií:

Keďže rad nie je obmedzený, pravdepodobnosť odmietnutia obslúžiť požiadavku je:

Absolútna šírka pásma:

Zo vzorca (28) v , získame výraz pre priemerný počet požiadaviek vo fronte:

Priemerný počet obsluhovaných požiadaviek je určený vzorcom:

Priemerný čas zdržania v QS a vo fronte je určený vzorcami (12) a (13).

Viackanálový systém radenia s obmedzeným radom a obmedzeným časom čakania vo fronte

Rozdiel medzi takýmto QS a QS uvažovaným v časti 5.5 je v tom, že čas čakania služby, keď je aplikácia v rade, sa považuje za náhodnú premennú distribuovanú podľa exponenciálneho zákona s parametrom, kde je priemerná doba čakania aplikácia vo fronte, a - dáva zmysel intenzite toku požiadaviek opúšťajúcich front. Graf takéhoto QS je znázornený na obrázku 9.

Obrázok 9 - Graf viackanálového QS s obmedzeným radom a obmedzeným časom čakania v rade

Zostávajúce označenia tu majú rovnaký význam ako v pododdiele.

Porovnanie grafov na obr. 3 a 9 je znázornené, že posledný uvedený systém je špeciálnym prípadom systému narodenia a úmrtia, ak sa v ňom vykonajú tieto substitúcie (ľavý zápis sa vzťahuje na systém narodenia a úmrtia):

Výrazy pre konečné pravdepodobnosti sa dajú ľahko nájsť zo vzorcov (4) a (5) s prihliadnutím na (29). V dôsledku toho dostaneme:

Kde. Pravdepodobnosť vytvorenia frontu je určená vzorcom:

Požiadavka je odmietnutá, keď je obsadených všetkých m miest vo fronte, t.j. pravdepodobnosť odmietnutia služby:

Relatívna priepustnosť:

Absolútna šírka pásma:

Priemerný počet žiadostí vo fronte sa zistí podľa vzorca (11) a rovná sa:

Priemerný počet aplikácií obsluhovaných v QS sa zistí podľa vzorca (10) a rovná sa: