Jednokanálový hromadný systém s obmedzeným frontom. QS s čakaním (front). v disciplíne "Matematické metódy"

Existuje n-kanálový QS s neobmedzeným frontom. Vyznačuje sa nasledujúcimi ukazovateľmi:

Hraničné pravdepodobnosti:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Pravdepodobnosť, že aplikácia bude vo fronte:

(11)

(13)

Priemerný čas vo fronte:

(15)

Priemerný čas strávený v rade:

Uvažujme príklad riešenia problému viackanálového QS s očakávaním.

Úloha. V predajni vstupuje do pokladníc tok zákazníkov s intenzitou 81 osôb za hodinu. Priemerná dĺžka obsluhy pokladníka jedného zákazníka tservice = 2 min. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky obsluhy výpočtového uzla.

Podľa podmienky λ=81(osoba/hod.)= 81/60=1,35 (osoba/min.). Podľa vzorcov (1, 2):

= λ/μ= λ * tservice = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n >= 2,7. teda minimálne množstvo pokladníci n = 3.

Nájdite charakteristiky služby QS pre n=3.

Pravdepodobnosť, že pri pokladni nie sú žiadni zákazníci podľa vzorca (9):

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

V priemere 2,5 % času budú pokladníci nečinní.

Pravdepodobnosť, že pri pokladni bude rad, je určená vzorcom (11):

P = (2,7/3!(3-2,7))0,025 = 0,735

Priemerný počet kupujúcich v rade sa vypočíta podľa vzorca (13):

L \u003d (2,7 / (3 * 3! (1-2,7 / 3) )) * 0,025 \u003d 7,35 (ľudia)

T \u003d 7,35 / 1,35 \u003d 5,44 (min.)

Priemerný počet zákazníkov na pokladni určíme pomocou vzorca (15):

L \u003d 7,35 + 2,7 \u003d 10,05 (ľudia)

Priemerný čas strávený zákazníkmi pri pokladni sa zistí podľa vzorca (16):

T \u003d 10,05 / 1,35 \u003d 7,44 (min)

Priemerný počet pokladníkov zapojených do služieb zákazníkom podľa vzorca (12) = 2,7.

Koeficient (podiel) pokladníkov zamestnaných pri obsluhe sa vypočíta podľa tohto vzorca:

Absolútna kapacita výpočtového uzla A=1,35 (os/min), alebo 81 (os/hod), t.j. 81 kupujúcich za hodinu. Analýza charakteristík služieb poukazuje na značné preťaženie pokladní za prítomnosti troch pokladníkov.

systémy radenie s obmedzeným radom

Existuje n-kanálový QS s obmedzeným frontom. Počet žiadostí v poradí je obmedzený počtom m. Ak reklamácia príde v momente, keď je v rade už m reklamácií, nie je obsluhovaná. Takýto QS je charakterizovaný nasledujúcimi ukazovateľmi:

Hraničné pravdepodobnosti:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

Pravdepodobnosť zlyhania:

(19)

Relatívna priepustnosť:

Absolútna šírka pásma:

Priemerný počet obsadených kanálov:

Priemerný počet aplikácií vo fronte:

(23)

Priemerný počet aplikácií v systéme:

Príklad optimalizácie QS

Ukazovatele výkonu systému zaraďovania do fronty možno použiť na riešenie problémov s optimalizáciou.

Úloha.

Určte optimálny počet kotvísk v prístave s minimálnymi nákladmi, ak je známe, že za rok bolo obsluhovaných 270 lodí. Vykládka jednej lode trvá v priemere 12 hodín. Pokuta za státie plavidla v prístave je 100 000 rubľov/deň. Náklady na kotvisko sú 150 000 rubľov/deň. Výpočty sú uvedené v tabuľke.

Riešenie.

Podľa podmienok

λ=270(lode/rok)=270/360=0,75(lode/deň),

tservice=12h=12/24=0,5 dňa.

Podľa vzorcov (1, 2):

= λ/μ= λ * tservice = 0,75 * 0,5 = 1,5

Pod podmienkou /n nebude rad rásť donekonečna<1, т.е. при n >= 1,5. Teda minimálny počet lôžok n =2.

Nájdite charakteristiku služby SMO portu s počtom lôžok n=2.

Pravdepodobnosť, že v prístave nie sú žiadne lode, sa vypočíta podľa vzorca (9):

V priemere 1,4 % času budú ležadlá nečinné.

Priemerný počet lodí v rade sa vypočíta podľa vzorca (13):

Priemerný čas čakania v rade sa vypočíta podľa vzorca (14):

T \u003d 1,93 / 0,75 \u003d 2,57 (dní)

Určme priemerný počet lodí v prístave pomocou vzorca (15):

L\u003d 1,93 + 1,5 \u003d 3,43 (plavidlá)

Priemerný čas strávený loďami v prístave sa zistí podľa vzorca (16):

T \u003d 3,43 / 0,75 \u003d \u003d 4,57 (dní)

Priemerný počet obsadených lôžok (12) =1,5.

Analýza charakteristík služby naznačuje značné preťaženie prístavu v prítomnosti dvoch kotvísk.

Nájdite celkovú pokutu za státie plavidiel v prístave za deň. Aby sme to dosiahli, vynásobíme pokutu za zdržanie plavidla v prístave a priemerný počet plavidiel v rade:

= * L .

Stanovme si náklady na obsluhu kotvísk za deň: = *n.

Pre dve lôžka za deň

Celkové náklady budú: С= + =193+300=493 (den.un.)

Celkové náklady podľa stavu problému by mali byť minimálne.

Vypočítajme celkové náklady na počet lôžok n = 2, 3, 4. Výpočty sú uvedené v tabuľke. Ako je možné vidieť z tabuľky, minimálne náklady sa dosahujú pri n = 3. Na minimalizáciu nákladov sú preto potrebné 3 lôžka.

Tabuľka 1.- Výpočet optimálneho počtu lôžok

Možnosti úloh

Tabuľka 2 – Možnosti úlohy

1. V kaderníckom salóne, v závislosti od zložitosti strihu, majster vykonáva prácu v priemere za 30 minút. Návštevníci prichádzajú v priemere za 25 minút. Za každú hodinu práce majster zarobí 300 den.un.. Poradie je obmedzené na 4 ľudí. Ak sú v rade viac ako 4 ľudia, klient odchádza a strata za hodinu je 150 denov. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte optimálny počet majstrov.

2. Autá prichádzajú na čerpacie stanice s priemernou frekvenciou 2 autá za 5 minút. Natankovanie auta trvá v priemere 3 minúty. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte počet stĺpcov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 3 automaticky.

3. Uvažuje sa o nepretržitej prevádzke miesta preventívnej prehliadky vozidiel. Kontrola a identifikácia chýb každého stroja trvá v priemere 30 minút. Na kontrolu sa dostane priemerne 36 vozidiel denne. Ak vozidlo, ktoré dorazilo na kontrolný bod, nenájde voľný ani jeden kanál, ponechá kontrolný bod bez obsluhy. Určte pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby miesta preventívnej prehliadky. Určte počet kanálov tak, aby relatívna priepustnosť nebola menšia ako 0,8.

4. V urgentnej opravovni obuvi, v závislosti od zložitosti opravy, potrebuje majster v priemere 15 minút. Návštevníci prichádzajú v priemere každých 14 minút. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte počet masterov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 5 objednávok.

5. Na informačnom pulte vydá operátor certifikát v priemere za 4 minúty. Hovory prichádzajú každé 3 minúty. Ak sú operátori zaneprázdnení, hovor sa neobsluhuje. Určte pravdepodobnosti stavov a charakteristiky referenčnej služby. Určte počet kanálov tak, aby relatívna priepustnosť nebola menšia ako 0,75.

6. V závislosti od počtu produktov, ktoré má kupujúci, pokladníčka v predajni potrebuje na jednu kontrolu priemerne 2 minúty. Zákazníci pristupujú k pokladni s intenzitou 81 osôb za hodinu. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Stanovte počet pokladníkov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 4 zákazníkov.

7. V závislosti od typu auta trvá dispečerovi v ATP v priemere 20 minút na vystavenie jedného traťového listu. Žiadosti o autá sa prijímajú v priemere každých 30 minút. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte počet dispečerov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 2 požiadavky.

8. Je potrebné vyhodnotiť prácu automatickej telefónnej ústredne. Ak sú všetky komunikačné linky obsadené, účastník opustí systém. Hovory sú prijímané s intenzitou 2 hovory/min.. Trvanie hovorov je exponenciálne rozdelené a priemerne 1,5 minúty. Určte hraničné pravdepodobnosti a ukazovatele výkonnosti systému. Určte počet operátorov tak, aby relatívna priepustnosť výmeny nebola menšia ako 0,9.

9. V banke v závislosti od zložitosti požiadavky klienta potrebuje pokladník v priemere 10 minút. Klienti k nemu prichádzajú v priemere každých 12 minút. Pokladník zarobí 15 000 denov. za mesiac. Poradie je obmedzené na 6 osôb. Ak je v rade viac ako 6 ľudí, klient odchádza a strata za hodinu je 200 den.un. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte optimálny počet pokladníkov.

10. Jedna transakcia v bankomate trvá v priemere 2 minúty. Klienti k nemu chodia v priemere každých 20 minút. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte počet bankomatov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 2 osoby.

11. V predajni v závislosti od kupujúceho potrebuje predávajúci priemerne 10 minút na nákup. Zákazníci sa k nemu približujú v priemere každých 5 minút. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Stanovte počet predajcov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 5 osôb.

12. V objednávkovom oddelení továrne na výrobu nábytku trvá obchodnému manažérovi v závislosti od objednávky zákazníka v priemere 25 minút na vybavenie jednej objednávky. Klienti prichádzajú v priemere každých 30 minút. Určte limitné pravdepodobnosti stavov a charakteristiky služby. Určte počet manažérov tak, aby priemerná dĺžka frontu nepresiahla 3 osoby.

Zákazka

1. Vypočítajte v systéme Excel ukazovatele systému radenia podľa vzorcov uvedených v príručke. Počet obslužných kanálov n=1, 2, 3...k sa triedi, aby sa našla optimálna hodnota pre voľbu. Predpokladá sa, že vstupné toky a služby sledujú Poissonovo rozdelenie.

2. Analyzujte získané výsledky.

3.Vyplňte správu.

1) Účel práce;

2) vyhlásenie o probléme;

3) výsledky výpočtov vykonaných v Exceli;

4) závery o vykonaní práce.

Kontrolné otázky

1. Čo zahŕňa koncept systému radenia?

2. Aké sú typy čakacích systémov?

3. Aké sú hlavné charakteristiky a ukazovatele výkonnosti systémov radenia?

4. Uveďte hlavné vlastnosti (charakteristiky) prichádzajúceho toku požiadaviek?

5. Uveďte hlavné črty a charakteristiky čakacích systémov?

6. Aké sú hlavné charakteristiky QS s poruchami?

7. Uveďte príklady rôznych typov QS?

Bibliografický zoznam

1. Afanasiev M.Yu. Operačný výskum v ekonómii: modely, úlohy, riešenia. / M.Yu. Afanasiev, B.P. Suvorov.- M.: INFRA, 2003.-444s.

2. Wentzel E.S. Operačný výskum. Úlohy, princípy, metodika./ E.S. Wentzel.-M.: Vyššia škola, 2001.-208s.

3. Zaichenko Yu.P. Operačný výskum./ Yu.P. Zaichenko.- K .: Vishcha school, 1975.-320s.

4. Konyukhovsky P.V. Matematické metódy operačný výskum. / P.V. Konyukhovsky.- Petrohrad: Peter, 2001.-192s.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Výskum operácií v hospodárstve./ N.Sh. Kremer, B.A. Butko, I.M. Trishin.- M.: Banky a burzy, UNITI, 1997.-407s.

1. Kudryavtsev E.M. GPSS World Základy simulačného modelovania rôznych systémov - M.: DMK Press, 2004. - 320 s.

2. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Systémové modelovanie. - M.: Vyššia škola, 1985

3. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Modelovanie systémov: návrh kurzu. - M.: Vyššia škola, 1989

• pravdepodobnosť zlyhania kanála, pravdepodobnosť voľného kanála, absolútna priepustnosť;
• relatívna priepustnosť, priemerný čas služby, priemerný čas nečinnosti kanála.

Inštrukcia. Ak chcete takéto problémy vyriešiť online, vyberte model QS. Uveďte intenzita aplikačného toku λ A intenzita obslužného toku μ. Pre jednokanálový QS s obmedzenou dĺžkou frontu môžete zadať dĺžka frontu m a pre jednokanálový QS s neobmedzeným frontom - počet požiadaviek vo fronte (na výpočet pravdepodobnosti nájdenia týchto požiadaviek vo fronte). pozri príklad riešenia. . Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word.

Klasifikácia jednokanálových čakacích systémov

Príklad #1. Automatická čerpacia stanica má jedenčerpacia stanica. Predpokladá sa, že najjednoduchší tok autá prichádzajú do stanice s intenzitou λ=11 voz./hod. Čas obsluhy aplikácie je náhodná veličina, ktorá sa riadi exponenciálnym zákonom s parametrom μ=14 vozidiel/h. Určte priemerný počet áut na stanici.

Príklad č. 2. Je tu bod pre preventívnu kontrolu strojov s jednou kontrolnou skupinou. Kontrola a identifikácia chýb každého stroja trvá v priemere 0,4 hodiny. Na kontrolu sa dostane priemerne 328 áut denne. Toky požiadaviek a služieb sú najjednoduchšie. Ak vozidlo, ktoré dorazilo na kontrolný bod, nenájde žiadny kanál voľný, opustí kontrolný bod bez obsluhy. Určte obmedzujúce pravdepodobnosti stavov a charakteristiky údržby miesta preventívnej prehliadky.
Riešenie. Tu α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Tieto údaje je potrebné zadať do kalkulačky.

Predmet. Teória systémov radenia.

Každý QS pozostáva z určitého počtu servisných jednotiek, ktoré sa volajúservisné kanály (ide o obrábacie stroje, transportné vozíky, roboty, komunikačné linky, pokladníkov, predajcov a pod.). Každý QS je navrhnutý tak, aby slúžil niektorýmaplikačný tok (požiadavky) prichádzajúce v určitom náhodnom čase.

Klasifikácia QS podľa spôsobu spracovania vstupného prúdu aplikácií.

Systémy radenia

S odmietnutiami

(žiadny rad)

S radom

Neobmedzený rad

obmedzený rad

s prioritou

V poradí príchodu

Relatívna priorita

Absolútna priorita

Podľa servisného času

Podľa dĺžky frontu

Klasifikácia podľa fungovania:

otvorené, t.j. tok požiadaviek nezávisí od vnútorného stavu QS;

zatvorené, t.j. vstupný tok závisí od stavu QS (jeden pracovník údržby obsluhuje všetky kanály, keď zlyhajú).

Viackanálové QS s čakaním

Systém s obmedzenou dĺžkou frontu. Zvážte kanál QS s čakaním, ktorý prijíma tok požiadaviek s intenzitou ; intenzita služby (pre jeden kanál) ; počet miest v rade

Stavy systému sú očíslované podľa počtu požiadaviek pripojených systémom:

žiadny rad:

- všetky kanály sú bezplatné;

- jeden kanál je obsadený, zvyšok je voľný;

- zaneprázdnený -kanály, ostatné nie sú;

- všetci sú zaneprázdnení - žiadne bezplatné kanály;

je tam rad:

- všetky n-kanály sú obsadené; jedna aplikácia je vo fronte;

- všetky n-kanály sú obsadené, r-požiadavky vo fronte;

- všetky n-kanály sú obsadené, r-požiadavky vo fronte.

GSP je znázornený na obr. 9. Každá šípka má zodpovedajúce intenzity tokov udalostí. Podľa šípok zľava doprava sa systém prenáša vždy rovnakým tokom aplikácií s intenzitou , podľa šípok sprava doľava sa sústava prenáša obslužným tokom, ktorého intenzita sa rovná vynásobený počtom obsadených kanálov.

Ryža. 9. Viackanálové QS s čakaním

Pravdepodobnosť zlyhania.

(29)

Relatívna priepustnosť dopĺňa pravdepodobnosť zlyhania na jednu:

Absolútna priepustnosť QS:

(30)

Priemerný počet obsadených kanálov.

Priemerný počet požiadaviek vo fronte možno vypočítať priamo ako matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej:

(31)

Kde .

Aj tu (výraz v zátvorkách) nastáva derivácia súčtu geometrickej progresie (pozri vyššie (23), (24) - (26)), pomocou pomeru dostaneme:

Priemerný počet aplikácií v systéme:

Priemerná doba čakania na žiadosť vo fronte.

(32)

Rovnako ako v prípade jednokanálového čakajúceho QS, poznamenávame, že tento výraz sa líši od výrazu pre priemernú dĺžku frontu iba faktorom , t.j.

.

Priemerný čas zotrvania aplikácie v systéme, rovnaký ako pri jednokanálovom QS .

Systémy s neobmedzená dĺžka frontoch. Skontrolovali sme kanálové QS s čakaním, kedy v rade nemôže byť súčasne viac ako m-požiadaviek.

Rovnako ako predtým, pri analýze systémov bez obmedzení je potrebné zvážiť získané vzťahy .

Pravdepodobnosť zlyhania

Priemerný počet žiadostí vo fronte sa získa na od (31):

,

a priemerná doba čakania je od (32): .

Priemerný počet aplikácií .

Príklad 2 Čerpacia stanica s dvoma stĺpcami (n ​​= 2) obsluhuje prúd áut s intenzitou = 0,8 (aut za minútu). Priemerný servisný čas na stroj:

Iná čerpacia stanica sa v okolí nenachádza, takže rad áut pred čerpacou stanicou sa môže zväčšovať takmer donekonečna. Nájdite vlastnosti QS.

CMO s obmedzenou čakacou dobou. Predtým sme uvažovali o systémoch s čakaním obmedzeným len dĺžkou frontu (počet m-zákazníkov súčasne vo fronte). V takomto QS nárok, ktorý sa rozrástol do radu, ho neopustí, kým nečaká na službu. V praxi existujú QS iného typu, pri ktorých aplikácia po určitom čase môže opustiť rad (tzv. „netrpezlivé“ aplikácie).

Zvážte QS tohto typu za predpokladu, že obmedzenie čakacej doby je náhodná premenná.

Poissonov „tok únikov“ s intenzitou:

Ak je tento tok Poisson, potom proces vyskytujúci sa v QS bude Markov. Nájdite pre to pravdepodobnosti stavov. Číslovanie stavov systému je spojené s počtom požiadaviek v systéme – obsluhovaných aj vo fronte:

žiadny rad:

- všetky kanály sú bezplatné;

- jeden kanál je obsadený;

- dva kanály sú obsadené;

- všetky n-kanály sú obsadené;

je tam rad:

- všetkých n-kanálov je obsadených, jedna požiadavka je vo fronte;

- všetky n-kanály sú obsadené, r-požiadavky sú vo fronte atď.

Graf stavov a prechodov sústavy je na obr. 10.

Ryža. 10. SOT s obmedzenou čakacou dobou

Označme tento graf ako predtým; všetky šípky vedúce zľava doprava budú mať intenzitu toku aplikácií . Pre stavy bez frontu budú mať šípky vedúce z nich sprava doľava, ako predtým, celkovú intenzitu obslužného toku všetkých vyťažených kanálov. Pokiaľ ide o stavy s frontou, šípky vedúce z nich sprava doľava budú mať celkovú intenzitu toku služieb všetkých n kanálov plus zodpovedajúca intenzita toku dequeue. Ak sú vo fronte r-záznamy, potom sa celková intenzita toku odchodov bude rovnať .

Priemerný počet aplikácií vo fronte: (35)

Pre každú z týchto požiadaviek existuje „výstupný tok“ s intenzitou . Takže z priemeru - aplikácie vo fronte odídu v priemere bez čakania na obsluhu, -aplikácie za jednotku času a celkovo za jednotku času budú doručené v priemere - aplikácie. Relatívna priepustnosť QS bude:

Priemerne obsadené kanály sa stále získa vydelením absolútnej priepustnosti A číslom Uzavreté QS

Doteraz sme uvažovali o systémoch, v ktorých nie je prichádzajúci tok nijako prepojený s odchádzajúcim. Takéto systémy sa nazývajú otvorené. V niektorých prípadoch obsluhované požiadavky po oneskorení opäť vstupujú na vstup. Takéto QS sa nazývajú uzavreté. Príkladom uzavretých systémov je poliklinika obsluhujúca danú oblasť, tím pracovníkov priradených k skupine strojov.

V uzavretom QS cirkuluje rovnaký konečný počet potenciálnych požiadaviek. Kým sa potenciálna požiadavka nerealizuje ako požiadavka na službu, považuje sa za v oneskorenom bloku. V čase implementácie vstupuje do samotného systému. Napríklad pracovníci obsluhujú skupinu strojov. Každý stroj je potenciálnou požiadavkou, ktorá sa v momente, keď sa pokazí, zmení na skutočný. Kým stroj beží, nachádza sa v oneskorovacej jednotke a od okamihu poruchy až do konca opravy je v samotnom systéme. Každý pracovník je servisným kanálom. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P Vstup trojkanálového QS s poruchami prijíma tok aplikácií s intenzitou \u003d 4 požiadavky za minútu, čas na obsluhu aplikácie jedným kanálomt služby= 1/μ = 0,5 min. Je to výhodné z hľadiska šírku pásma QS prinútiť všetky tri kanály obsluhovať aplikácie naraz a priemerný servisný čas sa skráti trojnásobne? Ako to ovplyvní priemerný čas, ktorý aplikácia strávi v SOT?

Príklad 2 . /µ=2, ρ/n =2/3<1.

Úloha 3:

Dvaja pracovníci obsluhujú skupinu štyroch strojov. Zastavenie bežiaceho stroja sa vyskytuje v priemere po 30 minútach. Priemerný čas nastavenia je 15 minút. Prevádzkový čas a čas nastavenia sú rozdelené exponenciálne.

Zistite priemerný podiel voľného času každého pracovníka a priemerný čas, počas ktorého je stroj v prevádzke.

Nájdite rovnaké charakteristiky pre systém, kde:

a) každému pracovníkovi sú pridelené dva stroje;

b) stroj obsluhujú dvaja pracovníci vždy spoločne a s dvojnásobnou intenzitou;

c) jediný chybný stroj obsluhujú obaja pracovníci naraz (s dvojnásobnou intenzitou), a keď sa objaví ešte aspoň jeden chybný stroj, začnú pracovať samostatne, každý obsluhuje jeden stroj (najskôr popíšte systém z hľadiska smrti a pôrodné procesy).

Uvažujme viackanálový QS, ktorého vstup prijíma Poissonov tok požiadaviek s intenzitou a intenzita obsluhy každého kanála je, maximálny možný počet miest vo fronte je obmedzený m. Diskrétne stavy QS sú určené počtom aplikácií, ktoré vstúpili do systému a ktoré je možné zaznamenať.

Všetky kanály sú bezplatné, ;

Obsadený je len jeden kanál (akýkoľvek), ;

• - iba dva kanály sú obsadené (akékoľvek), ;
• - všetky kanály sú obsadené, .

Kým je QS v ktoromkoľvek z týchto stavov, nie je tam žiadny front. Keď sú všetky servisné kanály zaneprázdnené, následné požiadavky vytvoria front, čím sa určí ďalší stav systému:

Všetky kanály sú zaneprázdnené a jedna aplikácia je vo fronte,

Všetky kanály sú obsadené a dve aplikácie sú vo fronte,

Všetky kanály sú obsadené a všetky miesta vo fronte sú obsadené,

Prechod QS do stavu s veľkými číslami je určený tokom prichádzajúcich požiadaviek s intenzitou, pričom podľa podmienok sú tieto požiadavky obsluhované rovnakými kanálmi s intenzitou toku služieb rovnakou pre každý kanál. V tomto prípade celková intenzita servisného toku narastá s pripájaním nových kanálov až do stavu, keď je obsadených všetkých n kanálov. S príchodom frontu sa intenzita služby viac zvyšuje, pretože už dosiahla maximálnu hodnotu rovnajúcu sa.

Napíšme výrazy pre limitné pravdepodobnosti stavov:

Výraz pre možno transformovať pomocou vzorca geometrickej postupnosti pre súčet členov s menovateľom:

Vytvorenie frontu je možné, keď novo prijatá požiadavka nájde v systéme nie menej ako požiadavky, t.j. keď budú v systéme požiadavky.

Tieto udalosti sú nezávislé, takže pravdepodobnosť, že sú všetky kanály obsadené, sa rovná súčtu príslušných pravdepodobností

Preto sa pravdepodobnosť vytvorenia frontu rovná:

Pravdepodobnosť odmietnutia služby nastane, keď sú obsadené všetky kanály a všetky miesta vo fronte:

Relatívna priepustnosť sa bude rovnať:

Absolútna šírka pásma -

Priemerný počet obsadených kanálov -

Priemerný počet nečinných kanálov -

Koeficient obsadenosti (využitia) kanálov -

Pomer prestojov kanála -

Priemerný počet žiadostí vo frontoch -

Ak má tento vzorec inú formu -

Priemerný čas čakania v rade je daný Littleovým vzorcom -

Zvážte jednokanálový systém radenia s čakaním.

Budeme predpokladať, že prichádzajúci tok servisných požiadaviek je najjednoduchší tok s intenzitou λ.

Intenzita servisného toku sa rovná μ. Trvanie služby je náhodná premenná, ktorá podlieha zákonu o exponenciálnom rozdelení. Tok služieb je najjednoduchší Poissonov tok udalostí.

Požiadavka, ktorá príde v čase, keď je kanál zaneprázdnený, je zaradená do frontu a čaká na obsluhu. Budeme predpokladať, že veľkosť frontu je obmedzená a nemôže pojať viac ako m aplikácie, t.j. žiadosť, ktorá bola podaná v čase jej príchodu do SOT m +1 žiadostí (m čakajúci v rade a jeden v službe) opúšťa QS.

Systém rovníc popisujúcich proces v tomto systéme má riešenie:

(0‑1)

Menovateľom prvého výrazu je geometrická postupnosť s prvým členom 1 a menovateľom ρ, odkiaľ dostaneme

Pre ρ = 1 sa môžete uchýliť k priamemu výpočtu

(0‑8)

Priemerný počet lístkov v systéme.

Keďže priemerný počet aplikácií v systéme

(0‑9)

kde je priemerný počet aplikácií v prevádzke, potom vedieť, že zostáva nájsť. Pretože existuje len jeden kanál, potom počet obsluhovaných požiadaviek môže byť 0 alebo 1 s pravdepodobnosťou P° a P1 = 1 - P° respektíve odkiaľ

(0‑10)

a priemerný počet aplikácií v systéme sa rovná

(0‑11)

Priemerná doba čakania na žiadosť vo fronte.

(0‑12)

t.j. priemerná doba čakania na lístok v rade sa rovná priemernému počtu lístkov v rade, vydelenému intenzitou toku požiadaviek.

Priemerný čas zotrvania požiadavky v systéme.

Čas zotrvania žiadosti v systéme je súčtom času čakania na žiadosť v rade a času obsluhy. Ak je zaťaženie systému 100 %, potom =1/μ, inak = q/μ. Odtiaľ

(0‑13)

Obsah práce.

Príprava experimentálnych nástrojov .

Vykonáva sa podobne v súlade so všeobecnými pravidlami.

Výpočet na analytickom modeli.

1. Pripravte si nasledujúcu tabuľku v programe Microsoft Excel.

2. Do stĺpcov pre parametre QS tabuľky zapíšte počiatočné údaje, ktoré sú určené pravidlom:

m=1,2,3

(maximálna dĺžka frontu).

Pre každú hodnotu m je potrebné nájsť teoretické a experimentálne hodnoty indikátorov QS pre takéto dvojice hodnôt:

= <порядковый номер в списке группы>

3. Do stĺpcov s ukazovateľmi analytického modelu zadajte príslušné vzorce.

Experimentujte na simulačnom modeli.

1. Nastavte režim spustenia na exponenciálne distribuovaný servisný čas nastavením hodnoty zodpovedajúceho parametra na 1.

2. Pre každú kombináciu m a spustite model.

3. Výsledky štartov zapíšte do tabuľky.

4. Zadajte vzorce do príslušných stĺpcov tabuľky na výpočet priemernej hodnoty ukazovateľa P otk, q a A.

Analýza výsledkov .

1. Analyzujte výsledky získané teoretickými a experimentálnymi metódami a porovnávajte výsledky navzájom.

2. Pre m=3 vyneste grafy závislosti do jedného diagramu P otvorené z teoreticky a experimentálne získaných údajov.

Optimalizácia parametrov QS .

Vyriešte problém s optimalizáciou veľkosti počtu miest v rade m pre zariadenie s priemernou dobou obsluhy = z pohľadu maximalizácie zisku. Ako podmienky problému vezmite:

- príjem z obsluhy jednej aplikácie rovný 80 USD/hod.,

- náklady na údržbu jedného zariadenia sa rovnajú 1 c.u./hod.

1. Pre výpočty je vhodné vytvoriť tabuľku:

Prvý stĺpec je vyplnený hodnotami čísel prirodzeného radu (1,2,3…).

Všetky bunky druhého a tretieho stĺpca sú vyplnené hodnotami a .

V bunkách stĺpcov od štvrtého do deviateho sa prenesú vzorce pre stĺpce tabuľky sekcie 0.

Zadajte hodnoty do stĺpcov s počiatočnými údajmi sekcií Príjmy, Výdavky, Zisk (pozri vyššie).

Do stĺpcov s vypočítanými hodnotami sekcií Príjmy, Výdavky, Zisk zapíšte vzorce výpočtu:

- počet aplikácií za jednotku času

Nr = A

- celkový príjem za jednotku času

I S = I r *N r

- celková spotreba za jednotku času

ES = Es + Eq *(n-1)

- zisk za jednotku času

P = I S - E S

Kde

Ja r - príjem z jednej aplikácie,

E s - náklady na prevádzku jedného zariadenia,

E q - náklady na prevádzku jedného miesta v rade.

Grafy pre P otk ,

- tabuľku s údajmi, aby ste našli to najlepšie m a hodnota m opt,

- graf zisku za jednotku času od m .

Kontrolné otázky :

1) Uveďte stručný popis jednokanálového modelu QS s obmedzeným frontom.

2) Aké ukazovatele charakterizujú fungovanie jednokanálového QS s poruchami?

3) Ako sa vypočíta pravdepodobnosť p 0 ?

4) Aké sú pravdepodobnosti p ja

5) Ako zistiť pravdepodobnosť odmietnutia servisu aplikácie?

6) Ako nájsť relatívnu šírku pásma?

7) Aká je absolútna priepustnosť?

8) Ako sa vypočíta priemerný počet požiadaviek v systéme?

9) Uveďte príklady QS s obmedzeným frontom.

Úlohy .

1) Prístav má jedno nákladné kotvisko na vykladanie lodí. Prietok je 0,5 návštevy za deň. Priemerný čas vykládky jedného plavidla sú 2 dni. Ak sú v rade na vyloženie 3 plavidlá, prichádzajúce plavidlo sa odošle na vyloženie do iného kotviska. Nájdite ukazovatele výkonnosti kotviska.

2) Infopult železničnej stanice prijíma telefonické dopyty s intenzitou 80 žiadostí za hodinu. Operátor help desk odpovie na prichádzajúci hovor v priemere za 0,7 minúty. Ak je operátor zaneprázdnený, klientovi sa zobrazí správa „Čaká sa na odpoveď“, požiadavka je zaradená do fronty, ktorej dĺžka nepresahuje 4 požiadavky. Uveďte hodnotenie práce help desku a možnosti jeho reorganizácie