Простейшие потоки марковские процессы и цепи решение. Потоки событий марковские случайные процессы потоки событий. Сущностные особенности не запланированного фактора

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3… можно заранее перечислить, а переходы системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S - счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров, пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент t>t0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее соответствующее число рублей) S1 зависит от S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента t0.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - так называемой графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния (рис. 1).

Рисунок 1 - Граф состояний

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятности - понятием потока событий.

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени

Примерами могут быть:

• - поток вызовов на телефонной станции;
• - поток включений приборов в бытовой электросети;
• - поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию:
• - поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;
• - поток выстрелов, направляемых на цель.

Поток характеризуется интенсивностью л - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: .

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и _ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последствия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последствия (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени?t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствия.

Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью л, равной сумме интенсивностей входящих потоков:

Рассмотрим на оси времени простейший поток событий как неограниченную последовательность случайных точек. (Рис. 2)

Рисунок 2 - Поток событий

Можно показать, что для простейшего потока число m событий (точек), попадающих на произвольный участок времени ф, распределено по закону Пуассона

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:

В частности, вероятность того, что за время ф не произойдет ни одного события (m = 0), равна

Найдем распределение интервала времени T между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

В соответствии с формулой вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного из последующих событий, равна

а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T, есть

Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции распределения:

Распределение, задаваемое плотностью вероятности или функцией распределения, называется показательным (или экспоненциальным). Таким образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины

и обратно по величине интенсивности потока л.

Важнейшее свойство показательного распределения (присуще только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время ф, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т-ф): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

Иначе говоря, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на закон распределения оставшейся части.

Для простейшего потока с интенсивностью л вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени?t хотя бы одного события потока равна согласно

Вычислительные технологии

Том 13, Специальный выпуск 5, 2008

Исследование полумарковского потока событий

А. А. Назаров, С. В. Лопухова Томский государственный университет, Россия e-mail: nazarov@f pmk. tsu. ru, lopuchovasv@mail. ru

И.Р. Гарайшина

Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске, Россия e-mail: [email protected]

In the submitted work, the semimarkovian process is considered. Limiting model is considered. Results of analytical treatment of limiting model are compared with results, obtained by the asymptotical method.

Введение

Существует проблема расширения класса математических моделей потоков однородных событий. Зачастую классические модели случайных потоков событий не могут быть адекватны реальным информационным, телекоммуникационным потокам. Моделей пуассоповского и простейшего потоков часто бывает недостаточно для более правдоподобного, приближенного к реальности описания входящих потоков для систем массового обслуживания. Несмотря на то что существуют потоки фазового типа и модулированные пуассоновские потоки, которые более адекватны реальным ситуациям, большой интерес представляют модели полумарковского потока, частным случаем которых являются потоки марковского восстановления и все вышеперечисленные потоки. Методы исследования таких моделей достаточно сложны и приводят к значительным математическим проблемам. Поэтому наряду с задачей расширения классов потоков существует проблема развития методов их исследования.

1. Математическая модель

Случайным потоком однородных событий (потоком) будем называть упорядоченную последовательность

t\ < ¿2 < ■ ■ ■

случайных величин tm - моментов наступления событий в потоке.

Пусть задана полумарковская матрица A(x) с элемента ми Aklk2 (x), Матрн ца P = lim A(x) является стохастической, поэтому при заданном начальном распределении

она определяет некоторую цепь Маркова k (tm) с дискретным временем, которую будем называть вложенной в полумарковский поток цепью Маркова,

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, И. Р. Гарайшина

Случайный поток однородных событий будем называть полумарковским, если вероятностный закон формирования последовательности (1) определяется начальным распределением и равенствами

Ак1к2 (х) = Р {к(Ьт+1) = к2, Ьт+1 - Ьт < х ^^т) = к\ }

при всех т > 1.

Обозначим п(Ь) число событий полу марко веко го потока, наетуп ивших за время Ь па интервале .

Задачей исследования данной работы является установление распределения вероятностей Р(п, Ь) = Р{п(Ь) = п} при стационарном функционировании эргодичеекой цепи Маркова к (1т). Очевидно, процесс п(Ь) - немарковский, поэтому определим еще два случайных процесса: г(Ь) - длину интервала от момента времени Ь до момента наступления очередного события в рассматриваемом потоке, к(Ь) - непрерывный слева процесс с непрерывным временем, значение которого на интервале (Ьт,Ьт+1] постоянны и определяются равенствами к (Ь) = к (Ьт+1). В силу сделанных определений случайный процесс {к(Ь), п(Ь), г(Ь)} является трехмерным марковским процессом с непрерывным временем.

Заметим, что случайный процесс к(Ь) не является полумарковским в классическом определении , так как полумарковский процесс Б(Ь) непрерывен справа и, как указано в , для его переходных вероятностей не существует дифференциальных эволюционных уравнений Колмогорова, в то время как предложенный выше процесс {к(Ь), п(Ь), г(Ь)} - марковский, поэтому для его распределения вероятностей

Р (к, п, г,Ь) = Р {к(Ь) = к, п(Ь) = п, г(Ь) < г} (2)

нетрудно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова дР (к,п,г,Ь) дР (к,п,г,Ь) дР (к,п, 0,Ь) ^ дР (и,п - 1,0,Ь)

^ дГ (и,1Ь - 1, 0,Ь) А (\ 2-^-

дЬ дг дг ^ дг

Обозначим

Н(к, и, г, г) = ^ е"иПР(к,п,г,Ь),

где ] = ¡~ ~~ мнимая единица. Для этих функций из системы дифференциальных уравнений Колмогорова можно записать

дН (к,и,г,Ь) дН (к,и,г,Ь) дН (к, и, 0,Ь) ,и ^ дН (и, и, 0,Ь)

дЬ дг дг ^ дг

Обозначим Н (и,г,Ь) = {Н (1,и,г,Ь) ,Н (2,и,г,Ь),...} строку вектор-функции, тогда систему уравнений (3) перепишем в матричном виде

дН{и,г,г) _ дН{и,г,г) дН{и,0,г) Мц,г ч п т

дг дг + дг 1 [) "" [ }

решение которой удовлетворяет начальному условию H(u,z, 0) = R(z), где I - единичная матрица, а стационарное распределение R(z) двумерного марковского процесса {k(t), z(t)} является решением задачи Коши

<Ш = <Ш(1-Мг)),

и определяется равенством R{z) = seiт / (Р - A(x))dx, где aei = Здесь г - вектор-

строка стационарного распределения вероятностей значений вложенной цепи Маркова

k(tm); E - единичный вектор-столбец и матрица A = (P - A(x))dx.

2. Допредельная модель

Пусть имеем дифференциальное уравнение (4), решение H (u,z,t) которого удовлетворяет начальному условию H(u, z, 0) = R(z). Тогда преобразование Фурье - Стилтьесса

ф>(u,a,t) = / ejaz dz H (u, z, t) вектор-функ ции H (u,z,t) удовлетворяет уравнению

дф(и,а,Ь) . . дН (и, 0,Ь) , .*. . гЛ, .

т = ~заф{щ а, +-(е?иА*{а) - /) (5)

и начальному условию

ф(и,а, 0) = R*(a) = ^ ё>а2

где А*(а) = J е>а"2dA(z). Решение уравнения (5) имеет вид о

ф(и, а,1) = е~заЬ [ II*{а) + I (¿>иА*{а) - I) dт ] . (6)

Устремив Ь в бесконечность в выражении (6), получим преобразование Фурье по т

дН (и, 0,т) ^ ^ " л

от вектор-функции---. Выполнив обратное преобразование Фурье, определим,

I e-j*A*{aj) 1 da.

А. А. Назаров, С. В. Лопухова, И. Р. Рарайшшиа

Теперь равенство (6) можно записать в виде

ф(ща,г) = е-аЬ Я*(а) +

+ - / е]ат I е~зутК*(у) (/ - е>иА*(у)) 1 Ау (е"иА*(а) - /) <*г). (7)

Зная, что Н(и, ж,г) = Н(и,г) = ф(и, 0,1), получим выражение для вектор-функции Н (и,г):

Тогда распределение вероятностей Р(п, г) числа событий, наступивших за время г, явля-

ции Н(и,Ь) = МеЭип(Ь = Н(и,Ь)Е, оно имеет вид

1 С а1 Г 1 - е-™Ь

Р(п,1) = - е~зипНШ)Е(1и = - / -^-5

I - А* (у) А*(у)п-1Ейу, (8)

I - А* (у) Е<1у

Заключение

Выполняя асимптотические исследования полу марко веко го потока событий, аналогичные исследованию потоков марковского восстановления , получим, что асимптотику третьего порядка для характеристической функции можно записать в виде

МеГап(1) = ^«(ге^+^ае^+^аез*)

где коэффициенты 831, а2, аз3 для полумарковского потока определяются аналогично тому, как это сделано в работах . Полученные равенства (8) определяют распределение вероятностей Р(п,г) числа событий, наступивших в стационарном полумарковском потоке, заданном полумарковской матрицей А(х) и ее преобразованием А*(х) Фурье - Стилтьесса, Численная реализация формул (8) позволяет находить численные значения вероятностей Р(п, г) для достаточно широкого клаееа матриц А* (х) и значений г. Но возможности численной реализации ограничены вычислительными ресурсами. Для достаточно больших значений г естественно применить метод асимптотического анализа полумарковского потока аналогично тому, как это выполнено для потока марковского восстановления в работе и просеянного потока марковского восстановления в работе . Наличие численного алгоритма (8) позволяет определить область применения асимптотических результатов. Для рассмотренных потоков с тремя состояниями вложенной цепи Маркова расстояние Колмогорова - Смирнова между распределениями,

полученными асимптотически и по формулам (8), не превосходит 2-3 % для определенных значений t = Т, это позволяет утверждать, что при t > Т эффективно применение асимптотических результатов, а при t < Т целесообразно использовать формулы (8), полученные в данной работе.

Список литературы

Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наук, думка, 1989. 208 с.

Назаров A.A., Лопухова C.B. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // Матер. Междунар. науч. конф. "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей". Гродно, 2007. С. 170-174.

Лопухова C.B. Исследование полумарковского потока асимптотическим методом третьего порядка // Матер. VI Междунар. научно-практ. конф. "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. Ч. 2. С. 30-34.

Цель лекции: освоение понятий поток событий, простейший поток событий, Марковский процесс.

1.Поток событий. Свойства потоков событий. Простейший поток событий. Формула Пуассона.

2. Процесс обслуживания как Марковский процесс.

3. Одноканальная СМО с ожиданием.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Примерами могут быть:

Поток вызовов на телефонной станции;

Поток сбоев компьютера;

Поток выстрелов, направляемых на цель, и т.д.

Регулярным потоком называется поток, в котором события следуют одно за другим через одинаковые промежутки времени (детерминированная последовательность событий).

Такой поток событий редко встречается на практике. В телекоммуникационных системах чаще встречаются потоки, для которых и моменты наступления событий и промежутки времени между ними являются случайными.

Рассмотрим такие свойства потоков событий, как стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Поток стационарен, если вероятность появления какого-то числа событий на интервале времени τ зависит только от длины этого интервала и не зависит от его расположения на оси времени. Для стационарного потока среднее число событий в единицу времени постоянно.

Ординарным потоком называется поток, для которого вероятность попадания на данный малый отрезок времени двух и более требований пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного требования.

В системах телекоммуникаций поток принято считать ординарным.

Потокбез последствия характеризуется тем, что для двух непересекающихся интервалов времени

вероятность появления числа событий на втором интервале не зависит от числа появления событий на первом интервале.

Параметром потока называется предел

где - вероятность того, что на интервале появятся заявки.

Интенсивностью потока μ называется среднее число событий в единицу времени.

Для стационарного потока его параметр не зависит от времени .

Для стационарного и ординарного потока λ=μ.

Простейшим или пуассоновским потоком называется стационарный, ординарный поток без последействия.

Простейший поток подчиняется пуассоновскому закону распределения

где - интенсивность потока;

Количество событий, появляющихся за время .

Простейший поток можно задать функцией распределения промежутка между соседними вызовами

F(t)=P(zt),

P(z>t) равносильна вероятности того, что в промежутке длиной t не поступит не одного вызова.

F(t)=P(z>t)=1- (t)=1-

Данный закон распределения случайной величины называется показательным.

Свойства и характеристики простейшего потока:

а) для простейшего потока математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение величины промежутка z равны между собой MZ= σz=1/λ;

б) Математическое ожидание и дисперсия числа вызовов i за промежуток времени t равны между собой Mi=Di= λt.

Совпадение этих величин используют на практике при проверке реального потока для соответствия его простейшему.

СМО – система, подразумевающая наличие в ней 2х процессов: поступления заявок и обслуживания заявок.

Условно схема представляется в виде

И Накопитель К

Обслуживающий прибор

Процесс поступления заявок – процесс по времени.

Поток событий – последовательность моментов времени наступления каких-либо событий.

С любой СМО связаны 3 потока:

1) входной поток. Последовательность моментов времени поступления заявок

2) выходной поток. Последовательность моментов времени ухода обслужившихся заявок.

3) поток обслуживаний. Последовательность моментов времени окончания ослуживания заявок в предположении что обслуживание осуществляется непрерывно.

Поток характеризуется интенсивностью – среднее число событий в единицу времени.

Поток наз-ся регулярным , если интервалы времени между событиями в нём одинаковы. Нерегулярный – если интервалы времени м\ду событиями – случайные величины.

Поток рекуррентный , если интервалы времени между событиями – случайные величины, распределённые по одному и томуже закону.

Поток наз-ся однородным , если он х-ся только множеством {ti} наступивших событий. Неоднородный – если он описывается множеством {ti,fi}, где ti – моменты времени наступления событий, fi – признак заявки.

Сами СМО подразделяются на СМО с отказами и СМО с очередями . СМО с очередями подразделяется на с ограниченной очередью и с неограниченной очередью. Частный случай – ограниченное время ожидания в очереди.

В системах последнего типа заявки, которые не могут быть обслужены сразу, составляют очередь и с помощью некоторой дисциплины обслуживания выбираются из нее. Некоторые наиболее употребляемые дисциплины:

1) FIFO (first in – first out) – в порядке поступления;

2) LIFO (last in – first out) – первой обслуживается поступившая последней;

3) SIRO (service in random order) – в случайном порядке;

4) – приоритетные системы. (абсолютный и относительный приоритеты. При относительном заявки выстраиваются по значению приоритета – вначале высокие, потом ниже.)

Для краткой характеристики СМО Д.Кендалл ввел символику (нотацию)

m - число обслуживающих каналов;

n – количество мест ожидания (емкость накопителя).

k – кол-во источников.

A и B характеризуют соответственно входной поток и поток обслуживания, задавая функцию распределения интервалов между заявками во входном потоке и функцию распределения времен обслуживания.

А и В могут принимать значения:

D – детерминированное распределение;

М – показательное;

Е r – распределение Эрланга;

H r - гиперпоказательное;

G – распределение общего вида.

При этом подразумевается, что потоки являются рекуррентными , т.е. интервалы между событиями независимы и имеют одинаковое распределение. Обязательными в нотации являются первых 3 позиции. По умолчанию если n отсутствует имеем систему с отказами, если отсутствует k, то по умолчанию – один источник.

9. Простейший поток, его свойства и значение при исследовании смо.

Поток, удовлетворяющий следующим трем требованиям, называются простейшим.

1)Поток стационарен , если вероятность поступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности интервала и не зависит от его расположения на временной оси.

2)Поток ординарный , если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени
→0 есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.

3)Поток называется потоком без последействия , если для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т.е. от того, сколько времени прошло после последнего события.

Поток, удовлетворяющий этим трем условиям, называется простейшим.

Для него число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени подчиняется закону Пуассона, поэтому его иначе называют стационарным пуассоновским.

вероятность того, что за интервал времени τ произойдет ровно m событий.

Условие отсутствие последствия (заявки поступают независимо друг от друга) наиболее существенно для простейшего потока.

пуассоновского распределения.

Вероятность того, что за не произойдет не одного события

Вероятность, что за времяпроизойдет хотя бы одно событие

Иногда удобней анализировать систему, рассматривая интервалы между событиями T:

Это показательный закон с интенсивностью .

Математическое ожидание и среднее квадратичное для T:

Свойство отсутствие последействия позволяет использовать для исследования простейшего потока аппарат Марковских цепей.

Введем состояния системы следующим образом – считаем систему, находящейся в состоянии S, если в момент времени t в системе находится S заявок.

Определим вероятность для системы, состояние которой определяется только поступление заявок, того что в момент
система останется в том же состоянии. Очевидно, эта вероятность определяется тем, что за интервал
не поступит ни одной заявки

(S=0, 1, 2…)

Разлагая в ряд, получим:

Вероятность получения хотя бы одной заявки

Аналогичные соотношения можно получить, рассматривая процесс обслуживания заявок.

Простейшие или близкие к ним потоки часто встречаются на практике.

При суммировании достаточно большого кол-ва потоков с последействием, получается поток с последействием. В простейшем потоке приблизительно 68% маленьких интервалов

При вероятностном просеивании простейшего потока получается простейший поток

10. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы). Одноканальная СМО с блокировкой. Построение графа состояний .

При построении моделей такого рода как правило, используются рассмотрения моделируемых объектов, как Систем Массового Обслуживания (СМО).

Таким образом могут быть представлены различные по своей физической природе процессы – экономические, технические, производственные и т.д.

В СМО можно выделить два стохастических процесса:

Поступление заявок на обслуживание;

Обслуживание заявок.

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. В СМО будем выделять два потока:

Входной поток: множество моментов времени поступления в систему заявок;

Поток обслуживания: множество моментов окончания обработки системой заявок.

В общем случае СМО элементарного вида может быть представлено следующим образом

Обслуживающий прибор

И – источник;

О – очередь;

К – канал обслуживания.

Одноканальная СМО с блокировкой . Система M / M / 1/ n

Рассмотрим двухфазную систему, для которой при исследовании P – схем полагали детерминированный входной и просеянный поток обслуживания.

Считаем, что теперь входной поток пуассоновский с интенсивностью, а поток обслуживания – пуассоновский с интенсивностью.

Как и прежде, дисциплина обслуживания FIFO с блокировкой источника.

Состояние – число заявок в системе.

Всего возможно n +3 состояния: от 0 до n +2 .

Обозначим
- вероятность прихода за
i заявок;

- вероятность обслуживания за
i заявок.

ввиду ординарное

Аналогично

+
=

1-
+

Система уравнений:
и
- вероятности состояний.

при
получим

Ввиду стационарности потоков имеем:

и
,

Аналогично для остальных строк системы.

Окончательно имеем:

Получена система алгебраических уравнений.

Преобразуем её, начиная со второго и заканчивая предпоследним - новое уравнение получаем сложением старого с новым предыдущим.

В результате новое предпоследнее будет совпадать со старым последним уравнением:

i=0, 1,….n+1

Обозначим

,

Используем уравнеие нормировки

;

;

Это сумма геометрической прогрессии:

Cреднее время обсл. заявки

Рассмотрим некоторую физическую систему S={S 1 ,S 2 ,…S n }, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий (вызовы, отказы, выстрелы). Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий.

Пусть система S в момент времени t находится в состоянии S i и может перейти из него в состояние S j под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью ij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит из S i в S j . Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна, отсюда вытекает, что плотность вероятности перехода ij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящих систему по соответствующей стрелке. Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Проставим интенсивности пуассоновских потоков (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок. Получим размеченный граф состояний. На его основе можно написать уравнения Колмогорова и вычислить вероятности состояний.

Пример. Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью I , второго также пуассоновский с интенсивностью II . Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта узла) для обоих узлов - пуассоновский с интенсивностью. Составить граф состояний системы и написать уравнение Колмогорова. Состояния системы: S 11 - оба узла исправны; S 21 - первый узел ремонтируется, второй исправен; S 12, S 22 .

t=0 p 11 =1 p 21 =p 22 =p 12 =0

p 11 +p 12 +p 21 +p 22 =1.

Предельные вероятности состояний для непрерывной марковской цепи

Пусть имеется физическая система S={S 1 ,S 2 ,…S n }, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что ij =const, т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим p 1 (t), p 2 (t),… p n (t), при любом t. Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t. Будут ли функции p i (t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .

Таким образом, при t в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением.

Схема гибели и размножения

Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 , ..., S n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний -- правым и левым, а крайние состояния (S 0 , S n) -- только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности -- в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа,-- простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс -- простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S 0 имеем:

Для второго состояния S 1:

В силу (8.1) последнее равенство приводится к виду

где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р 0 , p 1 ,..., р n удовлетворяют уравнениям

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p 0 + р 1 + р 2 +…+ р n =1 (8.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (8.2) выразим р 1 через р 0 .

Из второго, с учетом (8.4), получим:

из третьего, с учетом (8.5),

и вообще, для любого k (от 1 до N):

Обратим внимание на формулу (8.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S k), а в знаменателе -- произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S k).

Таким образом, все вероятности состояний p 1 , р 2 , …, p n выражены через одну из них (p 0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (8.3). Получим, вынося за скобку p 0:

отсюда получим выражение для р 0 .

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р 0 (см. формулы (8.4) -- (8.7)). Заметим, что коэффициенты при p 0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (8.8). Значит, вычисляя р 0 , мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания и их основные характеристики

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п. Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые мы будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или «требований»), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время Т об, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

В СМО происходит какой-то СП с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь). Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить СП, описать его математически. Этим и занимается теория МО.

Предмет теории массового обслуживания -- построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками -- показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, и т. д. Область применения математических методов теории МО непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном смысле слова. Как своеобразные СМО могут рассматриваться: ЭВМ, системы сбора и обработки информации, автоматизированные производственные цеха, поточные линии, транспортные системы, системы ПВО и т.п.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы -- марковский. Для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими. Если это свойство нарушается, то математическое описание процесса становится гораздо сложнее и довести его до явных, аналитических формул удается лишь в редких случаях. Однако все же аппарат простейшей, марковской теории массового обслуживания может пригодиться для приближенного описания работы СМО даже в тех случаях, когда потоки событий -- не простейшие. Во многих случаях для принятия разумного решения по организации работы СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик -- зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного. Причем, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются эти приближенные формулы.